TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 422

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Gibt es eine Menge mit , die mit der üblichen Addition bzw. Multiplikation einen Körper bildet? (Begründung!)

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösungsvorschlag von neo[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erweitert man die reellen Zahlen mit höchstens einer komplexen Zahl , so gilt weiterhin .
Aufgrund der Eigenschaften eines Körpers muss es Zahlen geben mit bzw. .
Des Weiteren gilt bei einem Körper mit der regulären Addition bzw. Multiplikation:
Das neutrale Element bezüglich der Addition ist .
Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist .
Addition und Multiplikation auf einem Körper sind abgeschlossen (d.h Summe bzw. Produkt sind ebenso in der Menge enthalten).

Aus diesen Annahmen folgt:






Wenn , so sind auch alle Zahlen aus , welche mit multipliziert bzw. addiert werden in , woraus folgt: .