TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 426

Man bestimme $Z_{6}^{*}$ und $Z_{3}^{*}$ und überprüfe, ob diese beiden Gruppen isomorph sind.

Hilfreiches

Homomorphismus:
Eine Abbildung $\varphi :G\to H$ zwischen zwei Gruppen $(G,\circ )$ und $(H,*)$ heißt Homomorphismus (oder Gruppenhomomorphismus), wenn für alle $a,b\in G$ gilt: $\varphi (a\circ b)=\varphi (a)*\varphi (b)$

Isomorphie:
Existiert zwischen zwei Gruppen $G,H$ ein Isomorphismus (bijektiver Homomorphismus), so heißen $G$ und $H$ isomorph, und man schreibt dafür $G\cong H$.

Lösungsvorschlag von neo

$\mathbb {Z} _{6}^{*}{\widehat {=}}$ Einheitengruppe des Restklassenrings $\mathbb {Z} _{6}$
$\mathbb {Z} _{3}^{*}{\widehat {=}}$ Einheitengruppe des Restklassenrings $\mathbb {Z} _{3}$

$*$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$	${\overline {3}}$	${\overline {4}}$	${\overline {5}}$
${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$
${\overline {1}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$	${\overline {3}}$	${\overline {4}}$	${\overline {5}}$
${\overline {2}}$	${\overline {0}}$	${\overline {2}}$	${\overline {4}}$	${\overline {0}}$	${\overline {2}}$	${\overline {4}}$
${\overline {3}}$	${\overline {0}}$	${\overline {3}}$	${\overline {0}}$	${\overline {3}}$	${\overline {0}}$	${\overline {3}}$
${\overline {4}}$	${\overline {0}}$	${\overline {4}}$	${\overline {2}}$	${\overline {0}}$	${\overline {4}}$	${\overline {2}}$
${\overline {5}}$	${\overline {0}}$	${\overline {5}}$	${\overline {4}}$	${\overline {3}}$	${\overline {2}}$	${\overline {1}}$

$e_{6}={\overline {1}}$ (neutrales Element bezüglich $\mathbb {Z} _{6}$)
$E(\mathbb {Z} _{6})=\{{\overline {1}},{\overline {5}}\}$ (Die einzigen Restklassen modulo 6, welche ein Inverses besitzen)

$*$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$
${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$
${\overline {1}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$
${\overline {2}}$	${\overline {0}}$	${\overline {2}}$	${\overline {1}}$

$e_{3}={\overline {1}}$ (neutrales Element bezüglich $\mathbb {Z} _{3}$)
$E(\mathbb {Z} _{3})=\{{\overline {1}},{\overline {2}}\}$ (Die einzigen Restklassen modulo 3, welche ein Inverses besitzen)

Es gilt also:
$\varphi :E(\mathbb {Z} _{6})\to E(\mathbb {Z} _{3}):\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\circ \varphi (b)$
Sei $a={\overline {1}},b={\overline {5}}\to \varphi ({\overline {1}})={\overline {1}},\varphi ({\overline {5}})={\overline {2}}$

$\varphi ({\overline {1}}*{\overline {5}})=\varphi ({\overline {1}})*\varphi ({\overline {5}})$
$\varphi ({\overline {5}})=\varphi ({\overline {1}})*\varphi ({\overline {5}})$
${\overline {2}}={\overline {1}}*{\overline {2}}$
${\overline {2}}={\overline {2}}$

Aus $\varphi ({\overline {1}})={\overline {1}},\varphi ({\overline {5}})={\overline {2}}$ folgt:$\varphi ^{-1}({\overline {1}})={\overline {1}},\varphi ^{-1}({\overline {2}})={\overline {5}}$

$\varphi ^{-1}(\varphi ({\overline {5}}))=\varphi ^{-1}(\varphi ({\overline {5}}))*\varphi ^{-1}(\varphi ({\overline {1}}))$
$\varphi ^{-1}({\overline {2}})=\varphi ^{-1}({\overline {2}})*\varphi ^{-1}({\overline {1}})$
${\overline {5}}={\overline {5}}*{\overline {1}}$
${\overline {5}}={\overline {5}}$

Es existiert ein Isomorphismus $\varphi$ zwsichen $E(\mathbb {Z} _{6})$ und $E(\mathbb {Z} _{3})$:
$\varphi ({\overline {1}})={\overline {1}},\varphi ({\overline {5}})={\overline {2}}$
$\Rightarrow E(\mathbb {Z} _{6})$ und $E(\mathbb {Z} _{3})$ sind isomorph