Betrachten Sie den Ring
aus Aufgabe 426).
sei die Menge der Elemente
von
mit
. Zeigen Sie:
ist ein Ideal von
.
Es sei
eine Teilmenge eines Ringes
.
heißt Ideal von
, wenn gilt:
![{\displaystyle 0\in I}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=152113aa35a3faf8a86c614cd4976d28&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall a,b\in I\mid a+b\in I}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3f9967bb497cbb6c718d4d2ae260330b&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall a\in I,\forall r\in R\mid a*r\in I\land r*a\in I}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9a0c0e5de0d52b15b2ffe2faa39809ba&mode=mathml)
https://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_(Ringtheorie)
Bei der Angabe liegt vermutlich ein Schreibfehler vor, da der Ring aus Aufgabe 426
ist, nicht
.
Nullelement beweisen:
![{\displaystyle I=\sum _{n\geq 0}{a_{n}z^{n}}=\{a_{0}z^{0},a_{1}z^{1},.....\}\to a_{0}z^{0}=a_{0}*1=a_{0}\in I}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=833f371b0b2dbecc91bf96e538d0f16b&mode=mathml)
Addition (bzw. Substraktion) beweisen:
Seien ![{\displaystyle x,y\in I:\sum _{n\geq 0}{a_{n}z^{n}}+\sum _{n\geq 0}{b_{n}z^{n}}=\sum _{n\geq 0}{(a_{n}+b_{n})z^{n}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fd79b8784090feaab79e3fc2e73236fd&mode=mathml)
Sei ![{\displaystyle h_{n}=a_{n}+b_{n}\to \sum _{n\geq 0}{h_{n}z^{n}}\in I}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6762a4a999bf30ab112fe960e68f28e1&mode=mathml)
Multiplikation beweisen:
Seien ![{\displaystyle x\in I,y\in R:\sum _{n\geq 0}{x_{n}z^{n}}\sum _{n\geq 0}{y_{n}z^{n}}=\sum _{n\geq 0}{(\sum _{j\geq 0}^{n}{x_{j}*y_{n-j}})z^{n}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8d526c84483e918dd086a0d19be3f5d3&mode=mathml)
Sei ![{\displaystyle q_{n}=\sum _{j\geq 0}^{n}{x_{j}y_{n-j}}\to \sum _{n\geq 0}{q_{n}z^{n}}\in I\to Rechtsideal}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=19d30a04a28b1acdc1a61a9498ea30f7&mode=mathml)
![{\displaystyle x\in I,y\in R:\sum _{n\geq 0}{y_{n}z^{n}}\sum _{n\geq 0}{x_{n}z^{n}}=\sum _{n\geq 0}{(\sum _{j\geq 0}^{n}{y_{j}x_{n-j}})z^{n}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=029cbe75338ba3659d724c4f3d07c1a3&mode=mathml)
Sei ![{\displaystyle p_{n}=\sum _{j\geq 0}{y_{j}x_{n-j}}\to \sum _{n\geq 0}{p_{n}z^{n}}\in I\to Linksideal}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a965d467fc6d289460a45aa6c75ceadf&mode=mathml)
Linksideal + Rechtsideal
Ideal von