TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 438

Betrachten Sie den Ring $R[[x]]$ aus Aufgabe 426). $I$ sei die Menge der Elemente $\sum _{n\ge 0}{a}_n{z}^n$ von $R[[x]]$ mit $a_0=0$. Zeigen Sie: $I$ ist ein Ideal von $R[[x]]$.

Hilfreiches

Es sei $I$ eine Teilmenge eines Ringes $R=(R,+,\ast )$.$I$ heißt Ideal von $R$, wenn gilt:
$0\in I$
$\mathrm{\forall }a,b\in I\mid a+b\in I$
$\mathrm{\forall }a\in I,\mathrm{\forall }r\in R\mid a\ast r\in I\wedge r\ast a\in I$
https://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_(Ringtheorie)

Lösungsvorschlag von neo

Bei der Angabe liegt vermutlich ein Schreibfehler vor, da der Ring aus Aufgabe 426 $R[[z]]$ ist, nicht $R[[x]]$.

Nullelement beweisen:
$I=\sum _{n\ge 0}{a}_n{z}^n=\{a_0{z}^0,a_1{z}^1,\mathrm{.....}\}\to a_0{z}^0=a_0\ast 1=a_0\in I$

Addition (bzw. Substraktion) beweisen:
Seien $x,y\in I:\sum _{n\ge 0}{a}_n{z}^n+\sum _{n\ge 0}{b}_n{z}^n=\sum _{n\ge 0}(a_n+b_n)z^n$
Sei $h_n=a_n+b_n\to \sum _{n\ge 0}{h}_n{z}^n\in I$

Multiplikation beweisen:
Seien $x\in I,y\in R:\sum _{n\ge 0}{x}_n{z}^n\sum _{n\ge 0}{y}_n{z}^n=\sum _{n\ge 0}(\sum _{j\ge 0}^n{x}_j\ast y_{n-j})z^n$
Sei $q_n=\sum _{j\ge 0}^n{x}_j{y}_{n-j}\to \sum _{n\ge 0}{q}_n{z}^n\in I\to Rechtsideal$
$x\in I,y\in R:\sum _{n\ge 0}{y}_n{z}^n\sum _{n\ge 0}{x}_n{z}^n=\sum _{n\ge 0}(\sum _{j\ge 0}^n{y}_j{x}_{n-j})z^n$
Sei $p_n=\sum _{j\ge 0}{y}_j{x}_{n-j}\to \sum _{n\ge 0}{p}_n{z}^n\in I\to Linksideal$
Linksideal + Rechtsideal $\to I$ Ideal von $R[[z]]$