Seien
zwei Ideale eines Ringes
. Zeigen Sie, dass dann
ein Ideal von
ist. Gilt dies auch für
?
https://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_(Ringtheorie)
(Nullteiler bewiesen)
![{\displaystyle \forall a,b\in I_{1}:a+b\in I_{1},ab\in I_{1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=02585c2c074bac28503818872b0f1e40&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall c,d\in I_{2}:c+d\in I_{2},cd\in I_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=67aef03b562b2b9cc0ef5662a9d62529&mode=mathml)
(Abgeschossenheit bezüglich
bewiesen)
![{\displaystyle \forall aI_{1}:\forall b\in R:ab\in I_{1},ba\in I_{1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e8c9d08ade5818532cf5fe47e8de9e98&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall cI_{2}:\forall d\in R:cd\in I_{2},dc\in I_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=075828173a0f2f668747f4c0782e3754&mode=mathml)
(Abgeschlossenheit bezüglich
bewiesen)
Damit wäre bewiesen, dass
ein Ideal sein muss.
Sei nun
der Ring von den ganzen Zahlen
und
Ideale, welche die Vielfachen von
bzw.
darstellen.
![{\displaystyle V_{3}\cap V_{2}=\{3k+2m\}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=908293715372470115f59349a69d6507&mode=mathml)
Setzt man nun für
ein, folgt:
![{\displaystyle 3*1+2*1=5\to 5\notin V_{3}\cup V_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5aa599a6bd77af16e4805a824615abe9&mode=mathml)
muss nicht ein Ring sein.