TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 439

Seien $I_{1}, I_{2}$ zwei Ideale eines Ringes $R$ . Zeigen Sie, dass dann $I_{1} \cap I_{2}$ ein Ideal von $R$ ist. Gilt dies auch für $I_{1} \cap I_{2}$ ?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_(Ringtheorie)

Lösungsvorschlag von neo

$a_{0} \in I_{1} \land a_{0} \in I_{2} \Rightarrow a_{0} \in I_{1} \cap I_{2}$ (Nullteiler bewiesen)

$\forall a, b \in I_{1} : a + b \in I_{1}, a b \in I_{1}$
$\forall c, d \in I_{2} : c + d \in I_{2}, c d \in I_{2}$
$I_{1} \cap I_{2} \subseteq I_{1}, I_{1} \cap I_{2} \subseteq I_{2} \Rightarrow \forall a, b \in I_{1} \cap I_{2} : a + b \in I_{1} \cap I_{2}$ (Abgeschossenheit bezüglich $I_{1} \cap I_{2}$ bewiesen)

$\forall a I_{1} : \forall b \in R : a b \in I_{1}, b a \in I_{1}$
$\forall c I_{2} : \forall d \in R : c d \in I_{2}, d c \in I_{2}$
$I_{1} \cap I_{2} \subseteq I_{1}, I_{1} \cap I_{2} \subseteq I_{2} \Rightarrow \forall a \in I_{1} \cap I_{2} : \forall b \in R : a b \in I_{1} \cap I_{2}, b a \in I_{1} \cap I_{2}$ (Abgeschlossenheit bezüglich $R$ bewiesen)
Damit wäre bewiesen, dass $I_{1} \cap I_{2}$ ein Ideal sein muss.

Sei nun $R$ der Ring von den ganzen Zahlen $ℤ$ und $V_{3}, V_{2}$ Ideale, welche die Vielfachen von $3$ bzw. $2$ darstellen.
$V_{3} \cap V_{2} = {3 k + 2 m}$
Setzt man nun für $k = m = 1$ ein, folgt:
$3 * 1 + 2 * 1 = 5 \to 5 \notin V_{3} \cup V_{2}$
$\Rightarrow I_{1} \cup I_{2}$ muss nicht ein Ring sein.

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 439

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