TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 437

Seien $I_{1},I_{2}$ zwei Ideale eines Ringes $R$. Zeigen Sie, dass dann $I_{1}\cap I_{2}$ ein Ideal von $R$ ist. Gilt dies auch für $I_{1}\cap I_{2}$?

Hilfreiches

https://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_(Ringtheorie)

Lösungsvorschlag von neo

$a_{0}\in I_{1}\land a_{0}\in I_{2}\Rightarrow a_{0}\in I_{1}\cap I_{2}$ (Nullteiler bewiesen)

$\forall a,b\in I_{1}:a+b\in I_{1},ab\in I_{1}$
$\forall c,d\in I_{2}:c+d\in I_{2},cd\in I_{2}$
$I_{1}\cap I_{2}\subseteq I_{1},I_{1}\cap I_{2}\subseteq I_{2}\Rightarrow \forall a,b\in I_{1}\cap I_{2}:a+b\in I_{1}\cap I_{2}$ (Abgeschossenheit bezüglich $I_{1}\cap I_{2}$ bewiesen)

$\forall aI_{1}:\forall b\in R:ab\in I_{1},ba\in I_{1}$
$\forall cI_{2}:\forall d\in R:cd\in I_{2},dc\in I_{2}$
$I_{1}\cap I_{2}\subseteq I_{1},I_{1}\cap I_{2}\subseteq I_{2}\Rightarrow \forall a\in I_{1}\cap I_{2}:\forall b\in R:ab\in I_{1}\cap I_{2},ba\in I_{1}\cap I_{2}$ (Abgeschlossenheit bezüglich $R$ bewiesen)
Damit wäre bewiesen, dass $I_{1}\cap I_{2}$ ein Ideal sein muss.

Sei nun $R$ der Ring von den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ und $V_{3},V_{2}$ Ideale, welche die Vielfachen von $3$ bzw. $2$ darstellen.
$V_{3}\cap V_{2}=\{3k+2m\}$
Setzt man nun für $k=m=1$ ein, folgt:
$3*1+2*1=5\to 5\notin V_{3}\cup V_{2}$
$\Rightarrow I_{1}\cup I_{2}$ muss nicht ein Ring sein.