TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 440

Sei $\varphi :R_{1}\to R_{2}$ ein Ringhomomorphismus und $I$ ein Ideal von $R_{2}$. Man zeige, dass $\varphi {-1}(I)$ Ideal von $R_{1}$ ist.

Hilfreiches

Ringhomomorphismus:
Gegeben seien zwei Ringe $R,S$. Eine Funktion $\varphi :R\to S$ heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle Elemente $a,b$ von $R$ gilt:
$\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$ und $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$

Ist $\varphi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus, so wird das neutrale Element $e_{G}$ von $G$ auf das neutrale Element $e_{H}$ von $H$ abgebildet, d.h. $\varphi (e_{G})=e_{H}$.

Lösungsvorschlag von neo

Für $I$ gilt:
$0\in I$
$\forall x,y\in I:x+y\in I$
$\forall x\in I:\forall r\in R_{2}:xr\in R_{2},rx\in R_{2}$

Da es eine Umkehrfunktion $\varphi ^{-1}$ gibt, muss $\varphi$ bijektiv sein:
$\forall a\in R_{1}\exists !b\in R_{2}:b=\varphi (a)$
Es wird also jedes Element aus $R_{1}$ genau auf eine Element in $R_{2}$ abgebildet. Umgekehrt gilt dasselbe.

Sei nun $S=\varphi ^{-1}(I)$ das Ideal von $R_{1}$:
$0\in \varphi ^{-1}(I)$ (Aufgrund des Gruppenhomomorphismussatzes)
$\forall x,y\in I:x+y\in I\,\,\Rightarrow \,\,\forall \varphi ^{-1}(x),\varphi ^{-1}(y):\varphi ^{-1}(x)+\varphi ^{-1}(y)\in S$ (Abgeschlossenheit in $S$ bezüglich der Addition)
$\forall x\in I:\forall r\in R_{2}:xr\in R_{2},rx\in R_{2}$
$\Rightarrow \forall \varphi ^{-1}(x)\in \varphi ^{-1}(I):\forall \varphi ^{-1}(r)\in \varphi ^{-1}(R_{2}):\varphi ^{-1}(x)\varphi ^{-1}(r)\in S,\varphi ^{-1}(r)\varphi ^{-1}(x)\in S$ (Abgeschlossenheit in $S$ bezüglich der Multiplikation)