TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 440
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Sei ein Ringhomomorphismus und ein Ideal von . Man zeige, dass Ideal von ist.
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ringhomomorphismus:
Gegeben seien zwei Ringe . Eine Funktion heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle Elemente von gilt:
und
Ist ein Gruppenhomomorphismus, so wird das neutrale Element von auf das neutrale Element von abgebildet, d.h. .
Lösungsvorschlag von neo[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für gilt:
Da es eine Umkehrfunktion gibt, muss bijektiv sein:
Es wird also jedes Element aus genau auf eine Element in abgebildet. Umgekehrt gilt dasselbe.
Sei nun das Ideal von :
(Aufgrund des Gruppenhomomorphismussatzes)
(Abgeschlossenheit in bezüglich der Addition)
(Abgeschlossenheit in bezüglich der Multiplikation)