TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 444

Ein Polynom heißt irreduzibel, wenn es nicht als Produkt zweier Polynome kleineren Grades darstellbar ist. Man untersuche das Polynom $x^{2}+x+1$ auf Irreduzibilität a) über $\mathbb {Q}$, b) über $\mathbb {Z} _{3}$.

Hilfreiches

Irreduzibilitätskriterien über Körper:
Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel. Besitzt ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle, so hat es Grad 1.
Insbesondere hat jedes irreduzible Polynom über einem algebraisch abgeschlossenen Körper wie $\mathbb {C}$ Grad 1.
Jedes Polynom über $K$ vom Grad 2 oder vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in $K$ hat.
https://de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom

Lösungsvorschlag von neo

$\mathbb {Q}$ stellt einen Körper dar.

a) große Lösungsformel anwenden:
$x^{2}+x+1=0$
${\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4*1*1}}}{2*1}}={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}$
$x_{1}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\notin \mathbb {Q}$
$x_{2}={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}\notin \mathbb {Q}$
Es ist keine Nullstelle in $\mathbb {Q}$ vorhanden und daher ist das Polynom $x^{2}+x+1$ über $\mathbb {Q}$ irreduzibel.

b) $\mathbb {Z} _{3}=\{{\overline {2}},{\overline {1}},{\overline {0}}\}$

$+$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$
${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$
${\overline {1}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$	${\overline {0}}$
${\overline {2}}$	${\overline {2}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$

$*$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$
${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$
${\overline {1}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$	${\overline {2}}$
${\overline {2}}$	${\overline {0}}$	${\overline {2}}$	${\overline {1}}$

Nun setzt man für $x$ jede Restklasse ein und rechnet das Ergebnis aus.
$x={\overline {0}}:\,\,{\overline {0}}^{2}+{\overline {0}}+{\overline {1}}={\overline {1}}\to ({\overline {0}}+{\overline {0}}+{\overline {1}})*({\overline {1}})={\overline {1}}$
$x={\overline {1}}:\,\,{\overline {1}}^{2}+{\overline {1}}+{\overline {1}}={\overline {0}}\to ({\overline {1}}+{\overline {1}}+{\overline {1}})*({\overline {1}})={\overline {0}}$
$x={\overline {2}}:\,\,{\overline {2}}^{2}+{\overline {2}}+{\overline {1}}={\overline {1}}\to ({\overline {1}}+{\overline {2}}+{\overline {1}})*({\overline {1}})={\overline {1}}$
Wie man sieht lässt sich über $\mathbb {Z} _{3}$ das Polynom $x^{2}+x+1$ in Polynome niedrigeren Grades zerlegen und ist daher reduzibel über $\mathbb {Z} _{3}$.

Anmerkung Käßknöpfle: Als Probe für die Behauptung könnte man diese noch angeben. Diese wäre:

$$(x-{\overline {1}})^{2}=(x+{\overline {2}})=x^{2}+{\overline {2}}x+{\overline {2}}x+{\overline {4}}=x^{2}+x+{\overline {1}}$$