Ein Polynom heißt irreduzibel, wenn es nicht als Produkt zweier Polynome kleineren Grades darstellbar ist. Man untersuche das Polynom auf Irreduzibilität a) über , b) über .
Irreduzibilitätskriterien über Körper:
Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel. Besitzt ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle, so hat es Grad 1.
Insbesondere hat jedes irreduzible Polynom über einem algebraisch abgeschlossenen Körper wie Grad 1.
Jedes Polynom über vom Grad 2 oder vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in hat.
https://de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom
stellt einen Körper dar.
a) große Lösungsformel anwenden:
Irreduzibel über
b)
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Wieder für einsetzen und niedrigeres Polynom suchen (wir setzen x in die Gleichung oben ein um so herauszufinden ob die Gleichung in Z5 Nullstellen besitzt):
Irreduzibel über
da es keine Nullstellen in besitzt