TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 447

Ein Polynom heißt irreduzibel, wenn es nicht als Produkt zweier Polynome kleineren Grades darstellbar ist. Man untersuche das Polynom $x^{2} + x + 1$ auf Irreduzibilität a) über $ℝ$ , b) über $ℤ_{5}$ .

Hilfreiches

Irreduzibilitätskriterien über Körper:
Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel. Besitzt ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle, so hat es Grad 1.
Insbesondere hat jedes irreduzible Polynom über einem algebraisch abgeschlossenen Körper wie $ℂ$ Grad 1.
Jedes Polynom über $K$ vom Grad 2 oder vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in $K$ hat.
https://de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom

Lösungsvorschlag von neo

$ℝ$ stellt einen Körper dar.

a) große Lösungsformel anwenden: $x^{2} + x + 1 = 0 \to x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2} \notin ℝ, x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2} \notin ℝ$
$\Rightarrow$ Irreduzibel über $ℝ$

b) $ℤ_{5} = {\overline{4}, \overline{3}, \overline{2}, \overline{1}, \overline{0}}$

$+$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$
$\overline{0}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$
$\overline{1}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$	$\overline{0}$
$\overline{2}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$
$\overline{3}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$
$\overline{4}$	$\overline{4}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$

$*$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$
$\overline{0}$	$\overline{0}$	$\overline{0}$	$\overline{0}$	$\overline{0}$	$\overline{0}$
$\overline{1}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$
$\overline{2}$	$\overline{0}$	$\overline{2}$	$\overline{4}$	$\overline{1}$	$\overline{3}$
$\overline{3}$	$\overline{0}$	$\overline{3}$	$\overline{1}$	$\overline{4}$	$\overline{2}$
$\overline{4}$	$\overline{0}$	$\overline{4}$	$\overline{3}$	$\overline{2}$	$\overline{1}$

Wieder für $x$ einsetzen und niedrigeres Polynom suchen (wir setzen x in die Gleichung oben ein um so herauszufinden ob die Gleichung in Z5 Nullstellen besitzt):

${\overline{0}}^{2} + \overline{0} + \overline{1} = \overline{1} \hat{=} (\overline{0} + \overline{0} + \overline{1}) * (\overline{1}) = \overline{1}$
${\overline{1}}^{2} + \overline{1} + \overline{1} = \overline{3} \hat{=} (\overline{1} + \overline{1} + \overline{1}) * (\overline{1}) = \overline{3}$
${\overline{2}}^{2} + \overline{2} + \overline{1} = \overline{2} \hat{=} (\overline{4}) * (\overline{3}) = \overline{2}$
${\overline{3}}^{2} + \overline{3} + \overline{1} = \overline{3} \hat{=} (\overline{1} + \overline{1} + \overline{1}) * (\overline{1}) = \overline{3}$
${\overline{4}}^{2} + \overline{4} + \overline{1} = \overline{1} \hat{=} (\overline{0} + \overline{0} + \overline{1}) * (\overline{1}) = \overline{1}$
$\Rightarrow$ Irreduzibel über $ℤ_{5}$ da es keine Nullstellen in $ℤ_{5}$ besitzt

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 447

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Lösungsvorschlag von neo

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