TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 453

Sei $(M,\wedge ,\vee )$ eine Boolesche Algebra. Beweisen Sie:

a) $\mathrm{\forall }a\in M:a\vee 1=1,a\wedge 0=0$.

b) Falls $a\vee b=1$ und $a\wedge b=0$, so folgt $b=a^{\prime }$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

(Mathematik für Informatik (2.Auflage) Seite 87)

a) Term mit 1 bzw. 0 erweitern und dann das Verschmelzungsgesetz anwenden:

  $a\vee 1=(a\vee 1)\wedge 1=1$
  $a\wedge 0=(a\wedge 0)\vee 0=0$

b) Für den ersten Teil des Beweises verwenden wir $a\vee b=1$:

  $a^{\prime }=a^{\prime }\wedge 1=a^{\prime }\wedge (a\vee b)=(a^{\prime }\wedge a)\vee (a^{\prime }\wedge b)=0\vee (a^{\prime }\wedge b)=a^{\prime }\wedge b$

Für den zweiten Teil verwenden wir $a\wedge b=0$

  $b=b\wedge 1=b\wedge (a\vee a^{\prime })=(b\wedge a)\vee (b\wedge a^{\prime })=0\vee (b\wedge a^{\prime })=b\wedge a^{\prime }$

Sowohl $a^{\prime }$ als auch $b$ sind $b\wedge a^{\prime }$. Somit stimmt die Behauptung $b=a^{\prime }$.