Zeigen Sie, daß eine Basis des ist.
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Eine Teilmenge von B eines Vektorraums V heißt Basis von V, wenn sie linear unabhängig ist und ihre lineare Hülle [B] gleich V ist.
Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.
Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn es keinen Vektor v in der Menge M gibt, der durch Linearkombinationen der anderen Vektoren der Menge dargestellt werden kann.
Mathematisch ausgedrückt:
Um zu zeigen, dass die Vektoren unabhängig sind, muss man beweisen, dass die Linearkombination
trivial ist, d.h. dass
Lt. Definition muss gezeigt werden, dass die Menge B
- linear unabhängig ist
- die lineare Hülle von B gleich ist
Nun rechnen wir einmal die Koeffizienten der folgenden Linearkombination aus
Das kann man nun als folgendes Gleichungssystem umschreiben:
aus der dritten Gleichung wird ausgedrückt und ind die verbleibenden Gleichungen eingesetzt
das ergibt
und schlussendlich auch <br\>
B ist linear unabhängig
Nun muss man noch zeigen, dass die lineare Hülle von B gleich ist.
Um zu zeigen, dass zwei Mengen A, B identisch sind, geht man überlicherweise den Weg, dass man zeigt, dass A Teilmenge von B ist und umgekehrt:
D.h. in unserem Fall ist zu zeigen, dass gilt
Der erste Fall [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dazu überlegt man sich, ob alle möglichen Linearkombinationen innerhalb von liegen
umgeschrieben bedeutet das:
Man sieht also, ganz egal, wie man wählt (solange man beachtet, dass ) gilt
Der zweite Fall [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Fall ist etwas komplizierter. Man muss beweisen, dass sämtliche Vektoren aus auch in [B] enthalten sind.
Dazu zeigt man, dass man jeden beliebigen Vektor aus durch eine Linearkombination aus B bilden kann.
Man beginnt mit der selben Gleichung wie zuvor:
Das ergibt folgendes Gleichungssystem:
Nun berechnet man aus diesem System die . Ich erspare mir hier die einzelnen Rechenschritte und präsentiere nur die Ergbnisse:
Anhand von diesen Ergebnis erkennt man, dass man für jeden beliebigen Vektor aus die berechnen kann und dabei gilt, dass
und damit folgt schlußendlich:
siehe auch Lösung aus früherem Semester; dort wird der Beweis über den Rang der Matrix geführt