TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 492

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Zeigen Sie, daß eine Basis des ist.

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Teilmenge von B eines Vektorraums V heißt Basis von V, wenn sie linear unabhängig ist und ihre lineare Hülle [B] gleich V ist.

lineare Hülle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.

lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn es keinen Vektor v in der Menge M gibt, der durch Linearkombinationen der anderen Vektoren der Menge dargestellt werden kann.
Mathematisch ausgedrückt:

Um zu zeigen, dass die Vektoren unabhängig sind, muss man beweisen, dass die Linearkombination

trivial ist, d.h. dass

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lt. Definition muss gezeigt werden, dass die Menge B

  • linear unabhängig ist
  • die lineare Hülle von B gleich ist

lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nun rechnen wir einmal die Koeffizienten der folgenden Linearkombination aus

Das kann man nun als folgendes Gleichungssystem umschreiben:

aus der dritten Gleichung wird ausgedrückt und ind die verbleibenden Gleichungen eingesetzt

das ergibt

und schlussendlich auch <br\>

B ist linear unabhängig

linear Hülle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nun muss man noch zeigen, dass die lineare Hülle von B gleich ist.

Um zu zeigen, dass zwei Mengen A, B identisch sind, geht man überlicherweise den Weg, dass man zeigt, dass A Teilmenge von B ist und umgekehrt:

D.h. in unserem Fall ist zu zeigen, dass gilt

Der erste Fall [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dazu überlegt man sich, ob alle möglichen Linearkombinationen innerhalb von liegen

umgeschrieben bedeutet das:

Man sieht also, ganz egal, wie man wählt (solange man beachtet, dass ) gilt

Der zweite Fall [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Fall ist etwas komplizierter. Man muss beweisen, dass sämtliche Vektoren aus auch in [B] enthalten sind. Dazu zeigt man, dass man jeden beliebigen Vektor aus durch eine Linearkombination aus B bilden kann. Man beginnt mit der selben Gleichung wie zuvor:

Das ergibt folgendes Gleichungssystem:

Nun berechnet man aus diesem System die . Ich erspare mir hier die einzelnen Rechenschritte und präsentiere nur die Ergbnisse:

Anhand von diesen Ergebnis erkennt man, dass man für jeden beliebigen Vektor aus die berechnen kann und dabei gilt, dass

und damit folgt schlußendlich:

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

siehe auch Lösung aus früherem Semester; dort wird der Beweis über den Rang der Matrix geführt