TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 547

Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper $K$:

a) $K=\mathbb {R}$

b) $K=\mathbb {Z} _{3}$

${\begin{aligned}2x_{1}&+&x_{2}&+&x_{3}&+&x_{4}&=&1\\x_{1}&+&&&x_{3}&-&2x_{4}&=&1\\7x_{1}&+&&&x_{3}&+&x_{4}&=&7\end{aligned}}$

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{{Beispiel|1=
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Jozott

a)

Wir schreiben das Gleichungssystem in die Koeffizientenmatrix um und fügen den Vektor der Lösungen an die rechte Seite.

${\begin{pmatrix}2&1&1&1&|&1\\1&0&1&-2&|&1\\7&0&1&1&|&7\\\end{pmatrix}}$

Einfacher halber vertauschen wir die 1. mit der 2. Zeile, damit bekommen wir etwas angenehmere Zahlen später.

${\begin{pmatrix}1&0&1&-2&|&1\\2&1&1&1&|&1\\7&0&1&1&|&7\\\end{pmatrix}}$

Jetzt führen wir eine kurze Zeilenumformung durch.

${\begin{pmatrix}1&0&1&-2&|&1\\0&1&-1&5&|&-1\\0&0&-6&15&|&0\\\end{pmatrix}}$ $//Z_{2}\leftarrow Z_{2}-2*Z_{1}\quad //Z_{3}\leftarrow Z_{3}-7*Z_{1}$

Aufgrund der Form (siehe Buch Seite 132), können wir erkennen dass es eine mehrdeutige Lösung (bzw. unendlich viele Lösungen über dem Körper $\mathbb {R}$).

Jetzt müssen wir die Lösungen nur noch in die Form mehrer Gleichungen für $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ bringen. Dabei gehen wir von der untersten Zeile bis zur obersten.#

${\begin{aligned}-6x_{3}+15x_{4}=0\\-6x_{3}=-15x_{4}\\x_{3}=2,5x_{4}\end{aligned}}$

Wir haben also unsere erste Lösung für $x_{3}$und verwenden die für die nächste Gleichung für $x_{2}$.

${\begin{aligned}x_{2}-x_{3}+5x_{4}=(-1)\\x_{2}=(-1)+x_{3}-5x_{4}\\x_{2}=(-1)+2,5x_{4}-5x_{4}\\x_{2}=(-1)-2,5x_{4}\end{aligned}}$

Das ganze machen wir nochmal für die erste Zeile.

${\begin{aligned}x_{1}+x_{3}-2x_{4}=1\\x_{1}=1-x_{3}+2x_{4}\\x_{1}=1-2,5x_{4}-2x_{4}\\x_{1}=1-0,5x_{4}\end{aligned}}$

Unser Lösungsvektor lautet also: ${\vec {x}}=\left({\begin{array}{c}1-0,5x_{4}\\(-1)-2,5x_{4}\\2,5x_{4}\end{array}}\right)$

• Anmerkung von Alex: Bin auf die folgende Lösung gekommen. Ich habe dabei x4 := t gesetzt.

${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\\\end{pmatrix}}+t*{\begin{pmatrix}-1/2\\-15/6\\15/6\\1\\\end{pmatrix}}$

b)

Die Menge $\mathbb {Z} _{3}$besteht aus den Restklassen ${\bar {0}}\{...,-3,0,3,6,...\},{\bar {1}}\{...,-2,1,4,7,...\},{\bar {2}}\{...,-1,2,5,8,...\}$, mit denen wir rechnen können.

Wir schreiben die Gleichungen also wieder in eine Matrix um, wobei wir die Restklassen verwenden.

${\begin{pmatrix}2&1&1&1&|&1\\1&0&1&1&|&1\\1&0&1&1&|&1\\\end{pmatrix}}$

Wir vertauschen noch einmal Zeile 1 und Zeile 2.

${\begin{pmatrix}1&0&1&1&|&1\\2&1&1&1&|&1\\1&0&1&1&|&1\\\end{pmatrix}}$

Und führen einfache Zeilenumformungen durch.

${\begin{pmatrix}1&0&1&1&|&1\\0&1&2&2&|&2\\0&0&0&0&|&0\\\end{pmatrix}}$ $//Z_{2}\leftarrow Z_{2}-2*Z_{1}\quad //Z_{3}\leftarrow Z_{3}-1*Z_{1}$

Wir sehen, dass eine 0-Zeile herauskommt, was darauf schließen lässt, dass das Gleichungssystem unlösbar ist. (siehe Buch Seite 132)

Durch die Form sieht man, dass es wieder zu unendlich vielen Lösungen kommt. Jetzt muss die erste und die zweite Zeile noch auf $x_{1},x_{2}$ aufgelöst werden (wie bei a).

Anmerkung von Alex: Also im Grunde so. x3:= t, x4:= r ${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\\\end{pmatrix}}+t*{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\0\\\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\1\\\end{pmatrix}}$

--Jozott 10:17, 20. Jan. 2020 (CET)