TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 572

Man berechne

$det{\begin{pmatrix}2&4&-1&3\\1&2&0&-1\\1&2&7&4\\4&9&6&6\end{pmatrix}}$

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Hilfreiches

Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix kann an der Diagonale 'abgelesen' werden. Je nachdem wie man zu dieser gekommen ist, muss man diesen Wert mit ein oder mehreren Faktoren multiplizieren.

Satz 3.58 aus dem orangenen Buch:

(i) Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $A$ mit einem Faktor $\lambda \in K$, so ist die Determinante der neuen Matrix $detA'=\lambda detA$.

(ii) Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht.

(iii) Vertauscht man in einer Matrix $A$ zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $detA'=-detA$.

Lösungsvorschlag von Stefan Brandmair

${\begin{pmatrix}2&4&-1&3\\1&2&0&-1\\1&2&7&4\\4&9&6&6\end{pmatrix}}{\begin{aligned}I:II\\II:I\\\\\\\end{aligned}}$

Vertausche Zeile 1 mit Zeile 2 $\rightarrow det(A)=-det(A)$

${\begin{pmatrix}1&2&0&-1\\2&4&-1&3\\1&2&7&4\\4&9&6&6\end{pmatrix}}{\begin{aligned}\\II:II-2\cdot I\\III:III-1\cdot I\\IV:IV-4\cdot I\end{aligned}}$

${\begin{pmatrix}1&2&0&-1\\0&0&-1&5\\0&0&7&5\\0&1&6&10\end{pmatrix}}{\begin{aligned}\\II:IV\\\\IV:II\\\end{aligned}}$

Vertausche Zeile 2 mit Zeile 4 $\rightarrow det(A)=-det(A)$

${\begin{pmatrix}1&2&0&-1\\0&1&6&10\\0&0&7&5\\0&0&-1&5\end{pmatrix}}{\begin{aligned}\\\\\\IV:7\cdot IV\end{aligned}}$

Multipliziere Zeile 4 mit dem Faktor 7 $\rightarrow det(A)={\frac {1}{7}}det(A)$

${\begin{pmatrix}1&2&0&-1\\0&1&6&10\\0&0&7&5\\0&0&-7&35\end{pmatrix}}{\begin{aligned}\\\\\\IV:IV+III\end{aligned}}$

${\begin{pmatrix}1&2&0&-1\\0&1&6&10\\0&0&7&5\\0&0&0&40\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}det&=(-1\cdot -1\cdot {\frac {1}{7}})\cdot (1\cdot 1\cdot 7\cdot 40)\\det&=40\end{aligned}}$