TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 90

Man bestätige die Richtigkeit der folgenden Behauptungen durch einen indirekten Beweis:

(a) Ist die Summe $m+n$ zweier Zahlen $m,n\in \mathbb {Z}$ ungerade, dann ist genau einer der beiden Summanden ungerade.

(b) Ist das Quadrat $n^{2}$ einer ganzen Zahl $n\in \mathbb {Z}$ gerade, dann ist auch $n$ gerade.

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WS16 Beispiel 86

Hilfreiches

Aus "Mathematik für Informatik", S. 27:

$a\Rightarrow b\Leftrightarrow \lnot b\Rightarrow \lnot a$

Oder:

$\lnot (a\Rightarrow b)\Leftrightarrow a\land \lnot b$

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 15:36, 10. Jul. 2012 (CEST)

(a) a = "Die Summe m+n zweier Zahlen m,n ∈ Z ist ungerade", b = "Es ist genau einer der beiden Summanden ungerade"
Eine ungerade Zahl kriegt man immer dann, wenn tatsächlich einer der Summanden ungerade ist. Die Summe von zwei ungeraden Zahlen ergibt immer eine gerade Zahl. Die Implikation a ⇒ b ist also wahr.
Jetzt muss betrachtet werden, ob auch ¬b ⇒ ¬a wahr ist.
¬a = "Die Summe m+n zweier Zahlen m,n ∈ Z ist nicht ungerade", ¬b = "Es ist nicht genau einer der beiden Summanden ist ungerade"
oder anders formuliert: ¬a = "Die Summe m+n zweier Zahlen m,n ∈ Z ist gerade", ¬b = "Beide Summanden sind ungerade"
Das ist wahr, wie oben schon herausgefunden wurde.
Daraus folgt a ⇒ b ⇔ ¬b ⇒ ¬a ist wahr.

(b) a = "Das Quadrat n^2 einer ganzen Zahl n ∈ Z ist gerade", b = "n ist auch gerade"
a ⇒ b ist wahr.
¬a ="Das Quadrat n^2 einer ganzen Zahl n ∈ Z ist ungerade", ¬b = "n ist auch ungerade"
¬b ⇒ ¬a ist wahr. Daraus folgt a ⇒ b ⇔ ¬b ⇒ ¬a ist wahr.

Siehe auch

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 32