TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 74

Gegeben sei eine natürliche Zahl n in Dezimaldarstellung. Subtrahieren Sie von der aus allen Stellen mit Ausnahme der letzten Stelle gebildete Zahl das Zweifache der letzten Stelle. Die so erhaltene Zahl bezeichnen wir mit m. Beispiel: Die letzte Stelle von n = 483 ist 3, die anderen Stellen bilden 48. Daher ist m = 48 − 2 ∗ 3 = 42.
Beweisen Sie: n ist genau dann durch 7 teilbar, wenn m ebenfalls durch 7 teilbar ist. Im obigen Beispiel ist daher 483 durch 7 teilbar, da 42=6*7 durch 7 teilbar ist.

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 13:13, 14. Sep. 2012 (CEST)

$7*a+2*b=c$
$m=7*a=c-2*b\ \ldots \ a\in \mathbb {N} ,\ b\in \{0,1,2,\ldots ,9\}$
$n=c*10+b\ \Rightarrow$ n ist durch 7 teilbar.

Lösung von Robert L.

(Überarbeitete Version des Lösungsvorschlages von Christian Abila)

Laut Angabe können n und m folgendermaßen definiert werden:

$n=a_{k}*10^{k}+a_{k-1}*10^{k-1}+\ldots +a_{0}$

$m=(a_{k}*10^{k}+a_{k-1}*10^{k-1}+\ldots +a_{1}*10)*10^{-1}-2*a_{0}$

$a_{k}\in \{0,1,2,\ldots ,9\}$

Da m durch 7 teilbar ist gilt zudem:

$m=7*x$

$x\in \mathbb {N}$

Durch Gleichsetzung der beiden m-Ausdrücke folgt somit:

$7*x=(a_{k}*10^{k}+a_{k-1}*10^{k-1}+\ldots +a_{1}*10)*10^{-1}-2*a_{0}$

$(7*x+2*a_{0})*10=a_{k}*10^{k}+a_{k-1}*10^{k-1}+\ldots +a_{1}*10$

Dieser Ausdruck kann dann in n eingesetzt werden:

$n=(7*x+2*a_{0})*10+a_{0}$

$n=70*x+21*a_{0}$

$n=7*(10*x+3*a_{0})\ \Rightarrow$ n ist durch 7 teilbar.

Siehe auch

• Datei:TU Wien-Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse) - Kongruenzen.pdf: Auf Seite 8 ist das Beispiel durchgerechnet.