TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 88

Gelten folgende Formeln? Geben Sie jeweils eine verbale Begründung.

(a) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}:x<y$
(b) $\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}:x<y$
(c) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}:y<x$

(d) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{Z}\mathrm{\exists }y\in \mathbb{Z}:y<x$

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Hilfreiches

Peano-Axiome

1. 0 (Null) ist eine natürliche Zahl
2. Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger
3. 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl
4. Verschiedene natürliche Zahlen besitzen verschiedene Nachfolger
5. Jede Eigenschaft, welche 0 zukommt und sich von jeder natürlichen Zahl auf den Nachfolger überträgt, kommt bereits allen natürlichen Zahlen zu

Lösungsvorschlag

Beispiel a

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}:x<y$

In Worten: Für jedes x Element aus den natürlichen Zahlen, kann man ein y finden, welches größer ist als x.

Diese Behauptung gilt, weil man für jedes x ein y finden kann das größer ist als x (z. B.: y = x +1)

Beispiel b

$\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}:x<y$

In Worten: Es existiert ein y, Element aus den natürlichen Zahlen, welches größer ist, als alle natürlichen Zahlen x

Das hier gilt nicht, weil es bedeuten würde, dass es zumindest einen Wert $y\in \mathbb{N}$ geben muss, der größer als alle $x\in \mathbb{N}$

Es würde auch folgen, dass y < y sein muss und das kann nun mal auch nicht sein.

Beispiel c

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }y\in \mathbb{N}:y<x$

Diese Formel gilt nicht, weil man nicht für jedes x ein kleiners y finden kann. Im Speziellen für x = 0 kann kein kleineres $y\in \mathbb{N}$ gefunden werden

Beispiel d

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{Z}\mathrm{\exists }y\in \mathbb{Z}:y<x$

Nun hier gilt die Formel wieder, weil man nicht mehr an den Zahlbereich von $\mathbb{N}$ gebunden ist, also auch negative Zahlen vorhanden sind.