TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 397

Sei $(G,*)$ eine Gruppe. Untersuchen Sie, ob $(G\times G,\circ )$ mit $(a,b)\circ (c,d)=(a*c,b*d)$ ebenfalls eine Gruppe ist.

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Lösungsvorschlag von Berti

ACHTUNG: Ich bin mir nicht sicher, ob das mathematisch korrekt ist.

$(G,*)$ ist eine Gruppe. Das heißt es gelten die folgenden Gruppenkriterien (Gruppenaxiome):

• Abgeschlossen: $\forall a,b\in G:a*b\in G$
• Assoziativ: $\forall a,b,c\in G:(a*b)*c=a*(b*c)$
• Neutrales Element: $\forall a\in G:a*e=e*a=a$
• Für jedes Element gibt es in inverses Element: $\forall a\in G\exists a^{-1}\in G:a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$

Die Menge $G$ kann man sich vorstellen wie $G=\{a,b,c,\ldots \}$, die Menge $G\times G$ wie $G\times G=\{(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),\ldots ,(b,a),\ldots \}$. Das heißt also, die Menge $G\times G$ besteht aus Tupeln, die aus einem Produkt der Menge $G$ mit sich selbst entstehen.

Abgeschlossenheit

Verknüpft man zwei Elemente der Menge $G\times G$ miteinander, so muss das Ergebnis wieder in $G\times G$ liegen. Das heißt, dass z.B. $(G\times G,\circ )$ mit $(a,b)\circ (c,d)$ wieder $\in G\times G$ sein muss. Nachdem $a*c\in G$ und $b*d\in G$ sind, muss es demnach auch das Tupel $(a*c,b*d)\in G\times G$ geben. Dies ergibt sich aus der Eigenschaft, dass $(G,*)$ ja eine Gruppe ist.

Assoziativität

$((a,b)\circ (c,d))\circ (e,f)=(a,b)\circ ((c,d)\circ (e,f))$

$(a*c,b*d)\circ (e,f)=(a,b)\circ (c*e,d*f)$

$(a*c*e,b*d*f)=(a*c*e,b*d*f)$

Assoziativität ist damit gegeben.

Neutrales Element

$(a,b)\circ (e,e)=(e,e)\circ (a,b)=(a*e,b*e)=(a,b)$

Nachdem $(G,*)$ eine Gruppe ist, muss $a*e\in G$ bzw. $b*e\in G$ sein, also muss die Existenz eines neutralen Elements gegeben sein. Somit ist auch die Existenz eines neutralen Elements für $(G\times G,\circ )$ gegeben.

Inverses Element

$(a,b)\circ (a',b')=(a',b')\circ (a,b)=(a*a',b*b')=(e,e)$

Hier ist die Argumentation gleich wie beim neutralen Element. Wir machen uns die Eigenschaft, dass $(G,*)$ eine Gruppe ist zu nutze und argumentieren, dass das somit auch für die neu erzeugte Gruppe gelten muss.

Nachdem alle vier Eigenschaften erfüllt sind, muss es sich bei $(G\times G,\circ )$ auch wieder um eine Gruppe handeln.

Hilfsmittel von Har203

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $\left\langle G,\circ \right\rangle$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ \colon \,G\times G\to {G},\,(a,b)\mapsto {a}\circ b\,\in G\,,$

die „abgeschlossen“ ist (diese wichtige Voraussetzung zu prüfen wird oft bei algebraischen Strukturen übersehen)

$a,b\in G\implies \mathbf {a\circ b\in G}$

und, die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllt:

1. Assoziativität
   • $\forall \,a,b,c\,\in G$ gilt$\colon \;(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;a\circ e=e\circ a=a$ (falls dieses existiert, ist dieses eindeutig).
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existent ein inverses Element
   • $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;\exists \,a^{-1}\in G$ mit$\colon \;a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Die Elemente einer Gruppe $\left\langle G,\circ \right\rangle$ heißen kurz Gruppenelemente.

Lösung von Har203

Sei $\left\langle G,\star \right\rangle$ eine vorgegebene Gruppe. Ausgehend von dieser Gruppe bilden wir eine neue algebraische Struktur $\left\langle G\times G,\circ \right\rangle$ mit folgender Operation

$(a,\;b)\circ (c,\;d)=(a\star c,\;b\star d),\quad a,b,c,d\in G$

Abgeschlossenheit

Da $G$ als Gruppe abgeschlossen ist, gilt$\colon \;a\star c,\,b\star d\in G$ und somit$\colon \;(a\star c,\;b\star d)\in G\times G\implies$ die Operation $\circ \colon \;(G\times G)^{2}\mapsto G\times G$ ist ebenfalls abgeschlossen.

Assoziativität

Seien die drei folgenden Elemente beliebig gewählt

$f=(f_{1},f_{2}),\,\,g=(g_{1},g_{2}),\,\,h=(h_{1},h_{2})\,\in G\times G$ mit den Einzelkomponenten $f_{1},f_{2},g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in G$. 

Zu zeigen ist, dass

$\forall \,f,g,h\,\in G\times G$ gilt$\colon \;(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$.

${\begin{aligned}(f\circ g)\circ h=&((f_{1},\;f_{2})\circ (g_{1},\;g_{2}))\circ (h_{1},\;h_{2})=(f_{1}\star g_{1},\;f_{2}\star g_{2})\circ (h_{1},\;h_{2})=((f_{1}\star g_{1})\star h_{1},\;(f_{2}\star g_{2})\star h_{2}))=\\&{\text{ [AG gilt in G] }}=(f_{1}\star g_{1}\star h_{1},\;f_{2}\star g_{2}\star h_{2})={\text{ [AG gilt in G] }}=(f_{1}\star (g_{1}\star h_{1}),\;f_{2}\star (g_{2}\star h_{2}))=\\&(f_{1},\;f_{2})\circ (g_{1}\star h_{1},\;g_{2}\star h_{2})=(f_{1},\;f_{2})\circ ((g_{1},g_{2})\circ (h_{1},\;h_{2}))=f\circ (g\circ h)\end{aligned}}$

Neutrales Element

Zu zeigen ist, dass es ein neutrales Element $\mathbf {e} =(e_{1},\;e_{2})\in G\times G,\,\,e_{1},e_{2},a_{1},a_{2}\in G$ gibt mit

$\forall \,(a_{1},\;a_{2})\in G\times G$ gilt$\colon \;(a_{1},\;a_{2})\circ (e_{1},\;e_{2})=(e_{1},\;e_{2})\circ (a_{1},\;a_{2})=(a_{1},\;a_{2})$.

$(e_{1},\;e_{2})\circ (a_{1},\;a_{2})=(e_{1}\star a_{1},\;e_{2}\star a_{2})=(a_{1},\;a_{2})=(a_{1}\star e_{1},\;a_{2}\star e_{2})=(a_{1},\;a_{2})\circ (e_{1},\;e_{2})$

Sei $e_{G}$ das neutrale Element der Gruppe $G$, dann gilt$\colon \;e_{1}=e_{2}=e_{G}$ und $(e_{G},\;e_{G})\in G\times G$ ist das neutrale Element der neuen Struktur $\left\langle G\times G,\circ \right\rangle$.

Inverses Element

Für alle Gruppenelemente $a=(a_{1},\;a_{2})\in G\times G,\,\,$ mit $a_{1},a_{2}\in G$ muss ein inverses Element existieren. Zu zeigen ist, dass

$\forall \,a=(a_{1},\;a_{2})\in G\times G$ gilt$\colon \;\exists \,a^{-1}=(a_{1}^{-1},\;a_{2}^{-1})\in G\times G$ mit$\colon \;a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=(e_{G},\;e_{G})$.

Wir nehmen an, dass das inverse Element zu einem gegebenen $a=(a_{1},\;a_{2})\in G\times G$ das Element $a^{-1}=(a_{1}^{-1},\;a_{2}^{-1})\in G\times G$ sei. Wir werden das prüfen:

$a\circ a^{-1}=(a_{1},\;a_{2})\circ (a_{1}^{-1},\;a_{2}^{-1})=(a_{1}\star a_{1}^{-1},\;a_{2}\star a_{2}^{-1})=\mathbf {(e_{G},\;e_{G})} =(a_{1}^{-1}\star a_{1},\;a_{2}^{-1}\star a_{2})=(a_{1}^{-1},\;a_{2}^{-1})\circ (a_{1},\;a_{2})=a^{-1}\circ a$

Wir haben alle Eigenschaften einer Gruppe geprüft und die neue Struktur $\left\langle G\times G,\circ \right\rangle$ ist eine Gruppe. $\qquad \qquad \blacksquare$