TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 395

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Sei eine Gruppe. Untersuchen Sie, ob mit ebenfalls eine Gruppe ist.

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Lösungsvorschlag von Berti[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ACHTUNG: Ich bin mir nicht sicher, ob das mathematisch korrekt ist.

ist eine Gruppe. Das heißt es gelten die folgenden Gruppenkriterien (Gruppenaxiome):

  • Abgeschlossen:
  • Assoziativ:
  • Neutrales Element:
  • Für jedes Element gibt es in inverses Element:

Die Menge kann man sich vorstellen wie , die Menge wie . Das heißt also, die Menge besteht aus Tupeln, die aus einem Produkt der Menge mit sich selbst entstehen.

Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verknüpft man zwei Elemente der Menge miteinander, so muss das Ergebnis wieder in liegen. Das heißt, dass z.B. mit wieder sein muss. Nachdem und sind, muss es demnach auch das Tupel geben. Dies ergibt sich aus der Eigenschaft, dass ja eine Gruppe ist.

Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Assoziativität ist damit gegeben.

Neutrales Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nachdem eine Gruppe ist, muss bzw. sein, also muss die Existenz eines neutralen Elements gegeben sein. Somit ist auch die Existenz eines neutralen Elements für gegeben.

Inverses Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier ist die Argumentation gleich wie beim neutralen Element. Wir machen uns die Eigenschaft, dass eine Gruppe ist zu nutze und argumentieren, dass das somit auch für die neu erzeugte Gruppe gelten muss.

Nachdem alle vier Eigenschaften erfüllt sind, muss es sich bei auch wieder um eine Gruppe handeln.

-- Berti933 (Diskussion) 20:12, 23. Jan. 2015 (CET)