TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 232

Berechnen Sie die folgenden Summen durch Aufstellen und Lösen einer Rekursion mittels Ansatzmethode.

$\sum _{i=1}^n{i}^2$

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Lösung

Ansatz: $\sum _{i=1}^n{i}^2=\sum _{i=1}^{n-1}{i}^2+n^2$

Diesen Ansatz können wir umformen in eine inhomogene Differenzengleichung 1. Grades:

$\Rightarrow x_n=x_{n-1}+n^2$

Also lösen wir zuerst die homogene Gleichung:

$x_n^{(h)}=x_{n-1}^{(h)}\Rightarrow x_0=c,c=const.$

Jetzt gilt es noch eine partikuläre Lösung zu finden:

Ansatz für Störfunktion $n^2:x_n^{(p)}=A_0+A_{1}n+A_2{n}^2$

Wenn $A_0=c$ ist, wäre die homogene Lösung hier enthalten. Da das nicht sein darf, müssen wir noch den ganzen Term mit n multiplizieren.:

$x_n^{(p)}=A_{0}n+A_1{n}^2+A_2{n}^3$

Dann setzen wir obigen Term hier ein: $x_n-x_{n-1}=n^2$

$A_{0}n+A_1{n}^2+A_2{n}^3-A_0(n-1)-A_1(n-1{)}^2-A_2(n-1{)}^3=n^2$

$A_{0}n+A_1{n}^2+A_2{n}^3-(A_{0}n-A_0)-(A_1{n}^2-2A_{1}n+A_1)-(A_2{n}^3-3A_2{n}^2+3A_{2}n-A_2)=n^2$

$A_0+2A_{1}n-A_1+3A_2{n}^2-3A_{2}n+A_2=n^2$

Eine Gleichung, drei Variablen - das schreit nach Koeffizientenvergleich

quadratische Teile: $3A_2=1\Rightarrow A_2=\frac{1}{3}$

lineare Teile: $2A_1-3A_2=0\Rightarrow A_1=\frac{1}{2}$

konstante Teile: $A_0-A_1+A_2=0\Rightarrow A_0=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow x_n^{(p)}=\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n$

Durch Zusammensetzen ergibt sich die allgemeine Lösung:

$x_n=x_n^{(h)}+x_n^{(p)}=\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n+c$