TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 1

Man überprüfe die Gleichung

$1^2+2^2+3^2+\mathrm{...}+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

für die ersten fünf natürlichen Zahlen und beweise sodann die Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion.

Dieses Beispiel ist als solved markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details: Vorlage:Beispiel)

Hilfreiches

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösung von samuelp

Gültigkeit für die ersten fünf natürlichen Zahlen

n	links	rechts
$1$	$1$	$\frac{6}{6}$
$2$	$5$	$\frac{30}{6}$
$3$	$14$	$\frac{84}{6}$
$4$	$30$	$\frac{180}{6}$
$5$	$55$	$\frac{330}{6}$

Alle stimmen überein. Der Induktionsanfang $n=0$ ist damit auch gelöst.

Induktionsschritt $n\to n+1$

Induktionshypothese: $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Induktionsbehauptung: $\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

Linke Seite:

$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^{n+1}{k}^2& =\sum _{k=0}^n{k}^2+(n+1{)}^2\\ & \stackrel{I.H.}{=}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1{)}^2\\ & =\frac{(n^2+n)(2n+1)}{6}+\frac{6(n^2+2n+1)}{6}\\ & =\frac{2n^3+3n^2+n}{6}+\frac{6n^2+12n+6}{6}\\ & =\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\end{array}$

Rechte Seite:

$\begin{array}{cc}\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}& =\frac{(n^2+3n+2)(2n+3)}{6}\\ & =\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\\ \end{array}$

Beide Seiten sind gleich somit ist die Induktionsbehauptung wahr.