TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 127

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Für sei , falls ein Teiler von ist und und teilerfremd sind. Man untersuche, ob die Relation R eine Halbordnung ist und ermittle gegebenfalls das Hassediagramm.

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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}


Lösungsvorschlag von --Bobsch 11:39, 12. Nov 2007 (CET)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reflexivität:
(eine Zahl teilt immer sich selbst) - Reflexivität gegeben;

Antisymmetrie:
Annahme:


- Antisymmetrie gegeben;

Transitivität
Annahme:
Folgerung:

- Transitivität gegeben;

Relation ist Halbordnung

Anmerkung von m4rS bezüglich Transitivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mMn ist die Folgerung falsch, denn aus folgt ja, dass m und n gar nicht miteinander in Relation stehen können, weil

Lösungsvorschlag von ADmiral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

- reflexiv:
Zu bew.: muss generell stimmen.

stimmt immer.
ebenfalls => Relation ist reflexiv.

- antisymmetrisch:
Zu bew.:

(das ggT-Zeug brauchen wir für den Beweis der Antisymmetrie gar nicht.)
=> Relation ist antisymmetrisch.

- transitiv: (Anm.: Ich verwende hier a, b, c statt n, k, [l,m,o,?], weil ich das für leichter lesbar halte):
Zu bew.:

sollte klar sein.
Zu beweisen ist , also .
zu beweisen wäre "nur noch" .
Dies beweisen wir durch den Schluss:
(d.h. im b ist das a nur einmal als Faktor drin).
(d.h. im c ist das b und damit das a nur einmal als Faktor drin).

=> Relation ist transitiv.

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Diskussion Informatik-Forum WS07 Beispiel 105