TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 130

Welche der Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität haben folgende Relationen $R$ auf $\mathbb {Z}$:

m R n $\Leftrightarrow m^{4}=n^{4}$

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Hilfreiches

Reflexivität

Reflexivität

$\forall a\in M:\quad aRa$

Symmetrie

Symmetrie

$\forall a,b\in M:aRb\Rightarrow bRa$

Antisymmetrie

Antisymmetrie

$\forall a,b\in M:\quad aRb\wedge bRa\Longrightarrow a=b$

Transitivität

Transitivität

$\forall a,b,c\in M:\quad a\circ b\wedge b\circ c\Rightarrow a\circ c$

Lösungsvorschlag

Allgemeine Betrachtung

Hier ist wichtig zu erkennen, dass durch die vierte Potenz das Vorzeichen der Zahlen in der Menge $\mathbb {R}$, auf die wir unsere Relation anwenden, immer positiv wird. Dadurch kann man sagen, dass $m$ und $n$ immer dann in Relation zu einander stehen, wenn ihr Betrag gleich ist. Diese Betrachtung ist für die Symmetrie entscheidend.

Reflexivität

Nachdem $m^{4}=n^{4},n:=m\Rightarrow m^{4}=m^{4}$ gilt, ist die Relation reflexiv, da jedes Element in Relation zu sich selbst steht.

Beispiel: $\{\ldots ,(-2,-2),(-1,-1),(0,0),(1,1),(2,2),\ldots \}$

Symmetrie

Nachdem $m^{4}=n^{4}$ gilt und $n^{4}=m^{4}$ dasselbe ist, ist die Relation symmetrisch (siehe auch Allgemeine Betrachtung).

Beispiel: $\{\ldots ,(-2,2),(-2,-2),(-1,1),(-1,-1),(0,0),(1,1),(1,-1),(2,2),(2,-2),\ldots \}$

Antisymmetrie

Antisymmetrie bedeutet, dass $m^{4}=n^{4}\Rightarrow m=n$. Wie wir bei der Symmetrie aber schon gesehen haben, ist das nicht zwingend erforderlich:

$m^{4}=n^{4}$

$\pm {\sqrt[{4}]{m^{4}}}=\pm {\sqrt[{4}]{n^{4}}}$

$\pm m=\pm n$

Beide Zahlen können entweder positiv, negativ oder nur eines von beiden sein. Sie sind aber nicht zwingend identisch, insofern ist die Relation nicht antisymmetrisch.

Frage: Durch das Potenzieren sind m und n doch zwingend ident.

Transitivität

$\forall m,n,o\in \mathbb {Z} :(mRo\land oRn)\Rightarrow mRn$

$m^{4}=o^{4}$

$o^{4}=n^{4}$

$\Rightarrow m^{4}=n^{4}$

Somit ist die Relation auch transitiv.

-- Superwayne 15:48, 26. Nov. 2014 (CET)