TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 131

Welche der Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität hat die folgende Relation R auf $\mathbb {Z}$:

$mRn\Leftrightarrow m=n^{2}$

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Lösungsvorschlag von m4rS

Reflexiv: nein, denn z. B. $2\neq 2^{2}$

Symetrisch: nein, denn z. B. $4=2^{2}\lnot \rightarrow 2=4^{2}$

Antisymetrisch: ja, denn $m=n^{2}\land n=m^{2}\rightarrow m=n^{2}=m^{4}\rightarrow m=n=1$

Transitiv: nein, denn z. B. $16=4^{2}\land 4=2^{2}\lnot \rightarrow 16=2^{2}$

Antisymmetrie trifft meiner Meinung nach nicht zu, da z.B.: m = 4, n = -2: D.h. m steht in Relation zu n, aber n = -2 kann nicht das Quadrat einer ganzen Zahl sein. (Pacman)

Edit zu Pacman: Es ist doch Antisymmetrisch, da die Antisymmetrie ($aRb\land bRb\rightarrow a=b$) eine Eigenschaft ist, die eine Halbordnung erfüllen muss. Bei m=4 und n=-2 gilt nur mRn bzw (4 = (-2)²) aber nicht nRm (-2 != (4)²). Da nRm falsch ist, ist die Prämisse ($aRb\land bRb$) falsch und somit der gesamte Ausdruck wahr.