TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 176

Wie viele natürliche Zahlen n < 1.000.000 enthalten in ihrer Dezimalentwicklung genau vier mal die Ziffer 2?

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vergleiche Bsp 143

1. Zahlen < 1.000.000 sehen haben in ihrer Dezimalentwicklung 6 Stellen

 $a_{5}*10^{5}+a_{4}*10^{4}+a_{3}*10^{3}+a_{2}*10^{2}+a_{1}*10^{1}+a_{0}*10^{0}$

Dabei gilt $a_{k}\in \{0,1,2,..,9\}$ (10 Möglichkeiten)

2. Die Aufgabenstellung lässt sich in zwei Teilaufgaben unterteilen:

2.a) Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier 2er mit zwei unbekannten Zahlen zu kombinieren (Kombination ohne Wiederholung)? Das lässt sich leicht berechnen, indem man sich überlegt wieviele Permutationen der Menge $M=\{2_{0},2_{1},2_{2},2_{3},X_{0},X_{1}\}$ es gibt, und anschließend durch die Anzahl der gleichen Kombinationen dividiert

$\left(2_{0},2_{1},2_{2},2_{3},X_{0},X_{1}\right)=\left(2_{3},2_{2},2_{1},2_{0},X_{0},X_{1}\right)$

${\frac {\left|M\right|!}{\left|M_{2}\right|!*\left|M_{X}\right|!}}={\frac {6!}{2!*4!}}={\frac {6*5}{2}}=15$

2.b) Wieviele verschiedene Kombinationen aus zwei Zahlen der Menge $\{0,1,3,4,5,6,7,8,9\}$ gibt es? Es gibt für jede der beiden Zahl 9 Möglichkeiten, also insgesamt $9^{2}=81$ mögliche Kombinationen.

3. Verknüpfen der beiden Teilergebnisse ergibt $81*15=1215$ Zahlen < 1.000.000, mit vier 2ern.

mfg, --W wallner

Alternative Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Problem kann man in zwei Teile zerlegen:

Permutation mit Wiederholung der Multimenge $\{X,X,2,2,2,2\}$ (zwei beliebigen Ziffern $X\in \{0,1,2,3,5,6,7,8,9\}$ ): ${\frac {(n_{4}+n_{X})!}{n_{4}!\cdot n_{X}!}}={\frac {(4+2)!}{4!\cdot 2!}}={\frac {6!}{4!\cdot 2!}}=15$
Variation mit Wiederholung der Multimenge $\{X,X\}$ (die zwei zu wählenden Ziffern): $n^{k}=9^{2}=81$