TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 181

Man zeige

$\sum _{k=0}^{n}{(-1)^{k}}\left({\begin{array}{cc}x\\k\end{array}}\right)=(-1)^{n}\left({\begin{array}{cc}x-1\\n\end{array}}\right)$

für alle $x\geq 1$ und $x\in \mathbb {N}$ mit Hilfe der Identität $(1+z)^{x}\cdot {\frac {1}{1+z}}=(1+z)^{x-1}$.

Anm.: Fehler in der Angabe, es müßte heißen: "...und $n\in \mathbb {N}$..."

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag (1)

Ein motivierter Kollege hat dieses Beispiel als Induktion über $n$ vorgerechnet, ohne auf die o.g. Identität zurückgreifen zu müssen (Induktion über $x$ wäre angeblich auch möglich! Mathematiker vor!).

Lt. UE-Leiter ist das akzeptabel, auch weil das zugrundeliegenden Zeugs heuer in der VO nicht erschöpfend behandelt wurde, und daher keine UE-Gruppe das Beispiel angabengemäß lösen konnte ;-)

Weitere Lösungsvorschläge daher: sehr erwünscht!!

$\sum _{k=0}^{n}{(-1)^{k}}\left({\begin{array}{cc}x\\k\end{array}}\right)=(-1)^{n}\left({\begin{array}{cc}x-1\\n\end{array}}\right),\quad x\geq 1,\quad n\in \mathbb {N}$

Induktion über $n$:

$n=0:\quad$

${\underset {1}{\underbrace {(-1)^{0}} }}{\underset {1}{\underbrace {\binom {x}{0}} }}={\underset {1}{\underbrace {(-1)^{0}} }}{\underset {1}{\underbrace {\binom {x-1}{0}} }}\quad \surd \quad \quad (\forall m:\quad m^{0}:=1,\quad {\binom {m}{0}}:=1)$

$n\rightarrow n+1:$

$(-1)^{k}{\binom {x}{n}}+(-1)^{n+1}{\binom {x}{n+1}}{\overset {?}{=}}(-1)^{n+1}{\binom {x-1}{n+1}},\quad$ Ansatz soweit klar? :) Jetzt wird's nämlich ungemütlich..:

$(-1)^{n}{\frac {(n-1)!}{n!(x-1-n)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {x!}{(n+1)!(x-n-1)!}}{\overset {?}{=}}(-1)^{n+1}{\frac {(x-1)!}{(n+1)!\underbrace {(x-1-n-1)!} }}$

Nebenrechnung: $(x-1-n-1)!={\frac {(x-1-n)!}{(x-1-n)}}$, weil ja
$m!=(m-1)!\cdot m\Rightarrow$
$\Rightarrow (x-n-2)!={\frac {(x-n-1)!}{(x-n-1)}}$

$(-1)^{n}{\frac {(n-1)!}{n!(x-1-n)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {x!}{(n+1)!(x-n-1)!}}{\overset {?}{=}}(-1)^{n+1}{\frac {(x-1)!(x-n-1)}{(n+1)!(x-n-1)}}$

Gleicher Nenner, auf die andere Seite des Gleichheizzeichens verschieben:

$(-1)^{n}(x-1)!+(-1)^{n+1}{\frac {x!}{n+1}}-(-1)^{n+1}{\frac {(x+1)!(x-1-n)}{n+1}}{\overset {?}{=}}0$

$(-1)^{n}(x-1)!+(-1)^{n+1}\left({\frac {x!-(x-1)!(x-n-1)}{n+1}}\right){\overset {?}{=}}0$

${\underset {\pm 1}{\underbrace {(-1)^{n}} }}+{\underset {\mp 1}{\underbrace {(-1)^{n+1}} }}{\underset {1}{\underbrace {\left({\frac {x-(x-n-1)}{n+1}}\right)} }}{\overset {?}{=}}0$

$\pm 1+\mp 1=0$ QED.

Na, wenn das kein Beispiel für mathematische Hirnwixerei ist... T'schuldigung :)

Ich ersuche darum, Tipp- und andere Fehler zu beseitigen.

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g, Baccus 22:41, 1. Dez 2006 (CET)