TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 219

Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differenzengleichung: $a_{n}={\frac {n}{n+2}}.a_{n-1}+{\frac {1}{n^{2}+3n+2}}$

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Lösungsvorschlag von ...[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Post im Forum der im wesentlichen das selbe besagt. Hier hab ich mich bemueht etwas mehr Rechenschritten dazwischen zu machen...

Angabe umformen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Angabe ist nicht $a_{n+1}$ explizit:

$a_{n}={\frac {n}{n+2}}.a_{n-1}+{\frac {1}{n^{2}+3n+2}}$

Damit die Formeln aus dem Buch angewendet werden koennen, muss zuerst die Angabe umgeformt werden. Dies geschieht, indem einfach statt n eben n+1 eingesetzt wird:

$a_{n+1}={\frac {n+1}{(n+1)+2}}a_{(n+1)-1}+{\frac {1}{(n+1)^{2}+3(n+1)+2}}={\frac {n+1}{n+3}}a_{n}+{\frac {1}{n^{2}+2n+1+3n+3+2}}={\frac {n+1}{n+3}}a_{n}+{\frac {1}{n^{2}+5n+6}}$

Lösung der homogenen Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der umgeformten Angabe ist die Lösung der homogenen Gleichung $x_{n}^{(h)}=C*\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {i+1}{i+3}}$

Einfaches ausrechnen des Produktes $\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {i+1}{i+3}}$ ergibt schnell ${\frac {2}{(n+1)(n+2)}}$

Anmerkung von --Lewurm 22:42, 29. Jun 2008 (CEST)

das kann man sich so überlegen:

${\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{4}}\cdot {\frac {3}{5}}\cdots {\frac {1+(n-1)}{3+(n-1)}}$

im Zähler sieht man dass das einfach $n!$ ist und im Nenner $(n+2)!$ wobei $1\cdot 2$ ausgenommen werden sollen, also schreibt man diese einfach in den Zähler um sie rauszukuerzen.

${\frac {n!\cdot 1\cdot 2}{(n+2)!}}$

schliesslich kann man noch $n!$ rauskürzen und kommt auf das oben stehende Ergebnis. [ (n+2)! = n! * (n+1) * (n+2) ]

Ergibt im Endeffekt: $x_{n}^{(h)}=C*{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}$

Anmerkung von --Matmö 22:25, 15. Jun. 2010 (CEST): Bei uns in der Übungsgruppe wurde das auch so wie oben vorgerechnet, aber es ist laut unserem Ü-Leiter nicht notwendig, die Angabe umzuformen. Man kann statt dessen einfach die Indizies der Lösungsformel anpassen:

$a_{n}={\frac {n}{n+2}}*a_{n-1}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {i}{i+2}}*a_{0}={\frac {n!*1*2*a_{0}}{(n+2)!}}={\frac {2a_{0}}{(n+2)(n+1)}}$

Anmerkung von --Benutzer:Fabianm 08:16, 01. Dez. 2021 (CET): Die Zwischenschritte zuvor sind eventuell etwas schnell. Schaut man sich den Nenner genauer an, sieht man:

$\prod _{i=1}^{n}i+2=3*4*5*...*n*(n+1)*(n+2)\neq (n+2)!$

Deshalb ausführlich:

$a_{n}={\frac {n}{n+2}}*a_{n-1}=(\prod _{i=1}^{n}{\frac {i}{i+2}})*a_{0}={\frac {1*2}{1*2}}(\prod _{i=1}^{n}{\frac {i}{i+2}})*a_{0}={\frac {1*2*n!*a_{0}}{(n+2)!}}={\frac {2a_{0}}{(n+2)(n+1)}}$

Partikulaere Loesung der inhomogenen Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diesmal mit der Methode der Variation der Konstanten. Daher gilt: $x_{n}^{(p)}=C_{n}*{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}$

Nun wird die $x_{n}^{(p)}$ in die Angabe eingesetzt:

$C_{n+1}*{\frac {2}{(n+2)(n+3)}}=C_{n}*{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}*{\frac {n+1}{n+3}}+{\frac {1}{n^{2}+5n+6}}$

Nun wird durch den Multiplicator von $C_{n+1}$ dividiert, was die Gleichung gleich wesentlich vereinfacht:

$C_{n+1}=C_{n}*{\frac {\frac {2(n+1)}{(n+1)(n+2)(n+3)}}{\frac {2}{(n+2)(n+3)}}}+{\frac {\frac {1}{n^{2}+5n+6}}{\frac {2}{(n+2)(n+3)}}}=C_{n}*{\frac {2(n+1)*(n+2)(n+3)}{(n+1)(n+2)(n+3)*2}}+{\frac {1*(n+2)(n+3)}{(n^{2}+5n+6)*2}}=C_{n}+{\frac {1}{2}}$