TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 218

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen

 \begin{align}
\text{(a)} & x_{n+2} - 5x_{n+1} - 6x_n  = 0 \\
\text{(b)} & x_{n+2} -6 x_{n+1} + 12x_n  = 0 \\
\text{(c)} & x_{n+2} - 5x_{n+1} + 6{,}25x_n  = 0 \end{align}

Crispy's Versuch[Bearbeiten]

(a): x_{n+2} - 5x_{n+1}-6x_n=0[Bearbeiten]

Wir wählen als Ansatz x_n^{(h)} = \lambda^n. Für lineare Differenzengleichungen ergibt sich eine charakteristische Gleichung der Form:

\begin{alignat}{2}
\lambda^{n+2}+a\lambda^{n+1}+b\lambda^n&=0 &\quad& \text{durch }\lambda^n\text{ dividieren}\\
\lambda^2+a\lambda+b&=0 && \end{alignat}

Für unsere Differenzengleichung heißt das:

\lambda^2 -5\lambda -6=0

Einsetzen in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ergibt:

\begin{align}
_1\lambda_2 & = \frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}2 = \frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4(-6)}}2 \\
 & = \frac{5\pm\sqrt{25+24}}2 = \frac{5\pm\sqrt{49}}2 \\
 & = \frac{5\pm7}2 = -1; 6 \end{align}

Nach Adam Riesling (Satz 7.17, Buch S. 282) gilt, dass man alle Lösungen der homogenen Gleichung durch 2 linear unabhängige Lösungen erhält duch den Ausdruck

x_n = C_1\cdot x_n^{(1)}+C_2\cdot x_n^{(2)}

D.h., für unsere Beispiel lautet die allgemeine Lösung (der Ansatz war ja x_n = \lambda^n):

 x_n = C_1\cdot(-1)^n + C_2\cdot6^n

(b): x_{n+2} -6 x_{n+1} + 12x_n = 0[Bearbeiten]

Nach dem selben Schema:

\begin{align}
\lambda^2 & - 6\lambda + 12 = 0 \\
_1\lambda_2 & = \frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot 12}}2 = \frac{6\pm\sqrt{36-48}}2 \\
 & = \frac{6\pm\sqrt{-12}}2 = \frac{6\pm\sqrt{2\cdot 2\cdot 3}}2 = 3 \pm \frac{2\cdot \sqrt{3}i}2 \\
 & = 3 \pm \sqrt{3}i \end{align}

Für komplexe Zahlen meint das Buch (S. 283; Fall ii), dass man die Werte am Besten in Polarkoordinaten umrechnet

\begin{array}{c c}
\begin{align}
r &= \sqrt{\operatorname{Re}^2+\operatorname{Im}^2}\\
&= \sqrt{(3)^2+(\pm\sqrt{3})^2} \\
&= \sqrt{12} \end{align} &
\begin{align}
\varphi &= \operatorname{atan}(\frac{\operatorname{Im}}{\operatorname{Re}}) \\
&=\operatorname{atan}(\frac{\pm\sqrt{3}}{-3})\\
&=\pm0{,}5236 \end{align}\\ \end{array}

und das Ergebnis anschreibt als

\begin{align}
x_n &= C_1 r^n (\operatorname{cos}(n\varphi)+i \operatorname{sin}(n\varphi))+C_2 r^n(\operatorname{cos}(n\varphi)-i \operatorname{sin}(n\varphi)) \\
 &= r^n((C_1+C_2)\operatorname{cos}(n\varphi) + i(C_1-C_2)\operatorname{sin}(n\varphi))\end{align}

Wählen wir nun C1 und C2 konjugiert komplex, so sind die Werte D1 = (C1 + C2) und D2 = i(C1-C2) wieder reell, und wir erhalten

x_n = r^n(D_1\cdot\operatorname{cos}(n\varphi)+D_2\cdot\operatorname{sin}(n\varphi)) \text{ mit } D_1,D_2 \in \R

was bei uns dann so aussieht:

x_n = \sqrt{12}^n(D_1\cdot\operatorname{cos}(n\cdot 0{,}5236)+D_2\cdot\operatorname{sin}(n\cdot0{,}5236))

Korrigiert, Crispy 19:36, 14. Jun. 2010 (CEST)

(c): x_{n+2} - 5x_{n+1} + 6{,}25x_n = 0[Bearbeiten]

\begin{align}
\lambda^2 &-5\lambda+6{,}25 = 0 \\
_1\lambda_2 &= \frac{5\pm\sqrt{25-4\cdot6{,}25}}2 = \frac{5\pm\sqrt{0}}2 \\
 &= 2{,}5 \end{align}

Für diesen Fall empfiehlt das Buch als erste Partikulärlösung x_n^{(1)} = \lambda_1^n, für die zweite x_n^{(1)} = n\lambda_1^n:

\begin{align}
x_n &= C_1\lambda_1^n+C_2 n\lambda_1^n = (C_1+C_2 n)\lambda_1^n \\
 &= (C_1+C_2 n)2{,}5^n \end{align}

P.W.N.E.D.

Crispy 03:24, 11. Jun. 2010 (CEST)

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)[Bearbeiten]

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt]. --Markus Nemetz 09:53, 9. Jun 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004[Bearbeiten]


Quelle[Bearbeiten]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 82