TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 310

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Ein t-ärer Baum () ist ein ebener Wurzelbaum, bei dem jeder Knoten entweder 0 Nachfolger (Endknoten) oder genau t Nachfolger (interner Knoten) hat. Für t = 2 ergeben sich also genau die Binärbäume. Wieviele Endknoten hat ein t-ärer Baum mit n internen Knoten?

Überlegungen von mnemetz (war Holzweg)[edit]

Siehe Diskussion:Beispiel_209

Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]

Die Anzahl aller Knoten eines Baumes (wobei V die Knotenmenge, E die Kantenmenge ist), umfasst:

, m ... innere Knoten, x ... Endknoten

Für jeden endlichen Baum gilt:

Somit können wir sagen:

Begründung: von jedem inneren Knoten führen t Kanten weg. 1 steht für den Startknoten (Wurzelknoten).

Somit ergibt sich, wenn ich nun gleichsetze:

Ergänzung: Beweis für |V| = |E| + 1[edit]

Siehe auch Skriptum, S.32

Beweis durch vollständige Induktion nach |V| = n.

  n = 1       |V| = 1 = |E| + 1 = 0 + 1
  n = 2       |V| = 2, |E| = 1  2 = 1 + 1
  

n n + 1: sei T ein Baum mit |V(T)| = n + 1

Wir entfernen einen Endknoten (Knoten v mit d(v) =1; existiert stets!) samit zugehöriger Kante ist wieder ein Baum.

|V \ {}| = n |V()| = |E()| - laut Induktionsvorraussetzung

|V \ {}| = |E \ {}| + 1

|V| - 1 = |E| - 1 + 1

|V| = |E| + 1 QED

Lösungsvorschlag von neo[edit]

Bei einem t-ären Baum hat jeder interne Knoten t Nachfolger. D.h bei jeder Ebene des Baumes kommen (k sei in dem Fall die Tiefe des Baumes) Knoten dazu. Also . Dabei ist die null-te Ebene, also der Wurzelknoten. Aus dieser Überlegung folgt, dass n eine Potenz von t sein muss, da es n interne Knoten gibt (). Auf der nächsthöheren Ebene, also bei der k+1. Ebene muss es Knoten geben. Da die Variable nicht gegeben ist, hab ich ein wenig umformen müssen.


Folglich hat ein t-ärer Baum mit n internet Knoten Nachfolger.