TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 329

Man bestimme zu den Permutationen

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\1&4&5&2&3&7&6&8\end{pmatrix}},\qquad \rho ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\5&4&2&1&8&7&6&3\end{pmatrix}}$

die Permutationen $\sigma \circ \rho ^{2}$ und $\sigma ^{-1}\rho ^{-1}\sigma ^{2}$ sowie deren Zyklendarstellungen und Vorzeichen.

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Hilfreiches

$\operatorname {sgn}(\pi )=(-1)^{{\text{Anzahl Zykel}}+{\text{Laenge der Permutation}}}$

Lösungsvorschlag

Für $\sigma ^{2}$ führt man $\sigma$ 2x hintereinander aus

$\sigma ^{2}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\1&2&3&4&5&6&7&8\end{pmatrix}}$

Deto für $\rho ^{2}$:

$\rho ^{2}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\8&1&4&5&3&6&7&2\end{pmatrix}}$

Für $\sigma ^{-1}$ vertauscht man die 2 Zeilen und sortiert die Spalten so, dass in der oberen Zeile die Zahlen wieder in aufsteigender Reihenfolge sind.

$\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\1&4&5&2&3&7&6&8\end{pmatrix}}$

Deto für $\rho ^{-1}$

$\rho ^{-1}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\4&3&8&2&1&7&6&5\end{pmatrix}}$

Ergebnis der Permutationen von: $\sigma \circ \rho ^{2}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\8&1&2&3&5&7&6&4\end{pmatrix}}$

In Zyklenschreibweise:

$\sigma \circ \rho ^{2}=(18432)(67)$

$\operatorname {sgn}(\sigma \circ \rho ^{2})=(-1)^{2+7}=-1$

Alternativ betrachtet man die Anzahl von Elementen im Zyklus; bei einer gerade Anzahl vcn Elementen ist das Vorzeichen negativ, bei einer ungeraden Anzahl positiv; bei Permutationen werden die Vorzeichen der Zyklen einfach multipliziert $\operatorname {sgn}(\sigma \circ \rho ^{2})=(1)*(-1)=-1$

$\sigma ^{-1}\rho ^{-1}\sigma ^{2}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\2&5&8&4&1&6&7&3\end{pmatrix}}$

In Zyklenschreibweise:

$\sigma ^{-1}\rho ^{-1}\sigma ^{2}=(125)(38)$

$\operatorname {sgn}(\sigma ^{-1}\rho ^{-1}\sigma ^{2})=(-1)^{2+5}=-1$ oder $(-1)*(1)=-1$

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