TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 342

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist:

$M=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=2\},z_{1}\circ z_{2}={\frac {z_{1}z_{2}}{2}}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösung

Abgeschlossenheit

$|z_{1}\circ z_{2}|=|{\frac {z_{1}z_{2}}{2}}|=(|z_{1}|\cdot |z_{2}|)/2=(2\cdot 2)/2=2$ hakerl

Assoziativität

$(z_{1}\circ z_{2})\circ z_{3}=({\frac {z_{1}z_{2}}{2}})\circ z_{3}=(({\frac {z_{1}z_{2}}{2}})\cdot z_{3})/2=(z_{1}z_{2}z_{3})/4=z_{1}\circ (z_{2}\circ z_{3})$ hakerl

Existenz eines neutralen Elements

Allgemein: $a\cdot e=e\cdot a=a$

$2\circ z=z\circ 2=(2z)/2=z$ hakerl

//Anmerkung: z kann doch sowohl -2 als auch 2 annehmen. Daher gäbe es soweit ich das verstehe kein neutrales Element.

//Anmerkung zur Anmerkung: Es ist doch egal ob z = -2 ist, wenn ich als neutrales Element 2 verwende kommt bei der Verknüpfung wieder z, also -2 heraus. Also es gibt ein neutrales Element und zwar 2 und nur 2. Klar wird das wenn man sich den Bruch anschaut, 2/2 kürzt sich weg und es bleibt z übrig.

Existenz eines inversen Elements

zu jedem $a+bi$ gibt es ein $a-bi$

$z\circ {\bar {z}}=(z\cdot {\bar {z}})/2=(|z|^{2})/2=4/2=2=e$ hakerl

(${\bar {z}}$ bezeichnet die konjugiert komplexe Zahl)

Also ist unsere Menge M mit Operation o eine Gruppe!

Informatik-Forum SS07 Beispiel 228