TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 337

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Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation \circ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist:

M = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| = 2\}, z_1 \circ z_2 = \frac{z_1z_2}{2}

Lösung[Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

|z_1 \circ z_2 | = |\frac{z_1z_2}{2}| = (|z_1|\cdot|z_2|)/2= (2\cdot 2)/2 = 2 hakerl

Assoziativität[Bearbeiten]

(z_1 \circ z_2) \circ z_3 = (\frac{z_1z_2}{2}) \circ z_3 = ((\frac{z_1z_2}{2})\cdot z_3)/2 = (z_1z_2z_3)/4 = z_1 \circ (z_2 \circ z_3) hakerl

Existenz eines neutralen Elements[Bearbeiten]

Allgemein: a \cdot e = e \cdot a = a

2 \circ z = z \circ 2 = (2z)/2 = z hakerl

//Anmerkung: z kann doch sowohl -2 als auch 2 annehmen. Daher gäbe es soweit ich das verstehe kein neutrales Element.

Existenz eines inversen Elements[Bearbeiten]

zu jedem a +bi gibt es ein a - bi

z \circ \bar z = (z\cdot \bar z)/2 = (|z|^2)/2 = 4/2=2=e hakerl

(\bar z bezeichnet die konjugiert komplexe Zahl)

Also ist unsere Menge M mit Operation o eine Gruppe!

Informatik-Forum SS07 Beispiel 228