TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 345

Untersuchen Sie, ob die Menge $M$ mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe,

ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: $M=\{z\in \mathbb {C} :|z|=2\lor |z|={\frac {1}{2}}\},z_{1}\circ z_{2}=z_{1}z_{2}$

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Lösung von barfoos

Abgeschlossenheit wird überprüft für 2 Zahlen $z_{1},z_{2}\in M$ mit $z_{1}=2$ und $z_{2}={\frac {1}{2}}$.

$z_{1}*z_{2}=2*{\frac {1}{2}}=1$, daher ist der Betrag der Multiplikation gleich 1. Aufgrund der Definition von $M$ liegt dieses Ergebnis nicht in $M$. Das beweist, dass zumindest eine Produktion von $z_{1}*z_{2}$ nicht in $M$ liegt, daher kann $z_{1}z_{2}$ nicht abgeschlossen sein.

Für Gruppoid muss gelten: Abgeschlossenheit. Für Halbgruppe muss gelten: Gruppoid + Assoziativgesetz. Für Monoid muss gelten: Halbgruppe + neutrales Element. Für Gruppe muss gelten: Monoid + allg. inverses Element.

Daher weder Gruppoid, Halbgruppe, Monoid, noch Gruppe.