TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 347

Untersuchen Sie, ob die Menge $M$ mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe,

ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: $M=\{z\in ℂ:|z|=2\vee |z|=\frac{1}{2}\},z_1\circ z_2=z_1{z}_2$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung von barfoos

Abgeschlossenheit wird überprüft für 2 Zahlen $z_1,z_2\in M$ mit $z_1=2$ und $z_2=\frac{1}{2}$.

$z_1\ast z_2=2\ast \frac{1}{2}=1$, daher ist der Betrag der Multiplikation gleich 1. Aufgrund der Definition von $M$ liegt dieses Ergebnis nicht in $M$. Das beweist, dass zumindest eine Produktion von $z_1\ast z_2$ nicht in $M$ liegt, daher kann $z_1{z}_2$ nicht abgeschlossen sein.

Für Gruppoid muss gelten: Abgeschlossenheit. Für Halbgruppe muss gelten: Gruppoid + Assoziativgesetz. Für Monoid muss gelten: Halbgruppe + neutrales Element. Für Gruppe muss gelten: Monoid + allg. inverses Element.

Daher weder Gruppoid, Halbgruppe, Monoid, noch Gruppe.