TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 354
Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:
- Abgeschlossenheit: , für (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion von
- Assoziativgesetz: für alle .
- Einheitselement: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
- Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
- Kommutativgesetz: für alle .
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe 1 X X X X X 2 X X X X 3 X X X 4 X X 5 X
Lösungsvorschlag von bonomat[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wenn , muss auch gelten: , daraus folgt . Ist erfüllt.
Zum Beweis der Abgeschlossenheit kann man wie folgt vorgehen: Da kann man schreiben:
Jetzt einsetzen:
Und das ist wieder
Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es muss gelten: für alle .
bei uns ist das dann:
und
also
links und rechts kommt nicht das gleiche heraus. nicht assoziativ.
Denke das Stimmt so nicht:
Sprich sind gleich!
Falsch. Setz mal zahlen ein
Du hast die Klammern vom 1. Schritt im 2. Schritt vergessen.
(45:15):3 = 45: (15:3) woraus folgt 3:3 = 45: 3 woraus folgt 1 = 15 was nicht stimmen kann
Neutrales Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Inverses Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
==> Es gibt ein inverses Element
Kommutativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nach dem das nicht der Fall ist, ist die Gruppe nicht kommutativ und somit, nur eine normale Gruppe
Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es liegt eine Gruppe vor
Also doch keine, weil ja Assoziativität nicht gegeben war. Also bloß ein Gruppoid.