TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 368

Man bestimme alle Untergruppen der Gruppe $S_{3}$ aller Permutationen von drei Elementen mit der Operation der Hintereinanderausführung.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Allgemeines

Zur besseren Übersicht schreib ich die möglichen Permutationen mit 3 Elementen in Zyklenschreibweise auf und bezeichne sie mit den Buchstaben A-F:

A = (1) (2) (3)
B = (1) (23)
C = (2) (13)
D = (3) (12)
E = (123)
F = (132)

Die Menge $S_{3}$ besteht aus den einzelnen Permutationen von oben, also

$S_{3}=\{A,B,C,D,E,F\}$

Erklärungsversuch

Bezüglich der Operation "Hintereinanderausführung" ist die Permutation A das neutrale Element, weil jedes Element an der selben Stelle bleibt.

Das inverse Element der Permuationen B ist B selbst. Hintereinanderausführen von B ergibt abwechselnd A und B. Das Gleiche gilt für C und D (Hintereinanderausführen von C ergibt abwechselnd A und C).

Das Inverse der Permutation E ist F und umgekehrt. Führt man E hinter F aus, erhält man A.

Das Ganze jetzt verdeutlicht an einem Beispiel mit der Menge { x, y, z }:

x y z
       // ausführen von B = (1) (23)
x z y
       // nochmaliges ausführen von B = (1) (23)
x y z

Man erhält also durch zweimaliges Anwenden von B das gleiche Ergebnis, das man erhalten hätte wenn man einmal die neutrale Permutation A ausgeführt hätte. Also gilt $B\circ B=A$.

x y z
       // ausführen von E = (123)
z x y
       // ausführen von F = (132)
x y z

Man erhält also durch Hintereinanderausführen von E und F das gleiche Ergebnis, das man erhalten hätte wenn man einmal die neutrale Permutation A ausgeführt hätte. Also gilt $E\circ F=A$.

Hier noch die Operationstafel zur besseren Verständnis: da $a\circ b\neq b\circ a$ ist wichtig, dass bei der Tafel links die Operation steht welche zuerst ausgeführt wird

o | A B C D E F
----------------
A | A B C D E F
B | B A F E D C
C | C E A F B D  
D | D F E A C B
E | E C D B F A
F | F D B C A E

bitte mit Vorsicht genießen, aber ich komme mit der Tafel auf die selbe Lösung wie unten und es ist schön ersichtlich das U6 von unten nicht mehr abgeschlossen ist und somit keine Untergruppe mehr darstellt.

Lösungsvorschlag

Die Gruppe $G=(\{A,B,C,D,E,F\},\circ )$ hat wie alle Gruppen zwei triviale Untergruppen:

$U_{0}=(\{A\},\circ )$ Untergruppe nur mit dem neutralen Element
$U_{1}=(\{A,B,C,D,E,F\},\circ )=G$ Untergruppe mit allen Elementen

Und zusätzlich alle Kombinationen, die für jedes enthaltene Element auch das Inverse enthalten. Das neutrale Element (A) muss immer enthalten sein.

$U_{2}=(\{A,B\},\circ )$
$U_{3}=(\{A,C\},\circ )$
$U_{4}=(\{A,D\},\circ )$
$U_{5}=(\{A,E,F\},\circ )$
$U_{6}=(\{A,B,C\},\circ )$
$U_{7}=(\{A,B,D\},\circ )$
$U_{8}=(\{A,C,D\},\circ )$
$U_{9}=(\{A,B,E,F\},\circ )$
$U_{10}=(\{A,C,E,F\},\circ )$
$U_{11}=(\{A,D,E,F\},\circ )$
$U_{12}=(\{A,B,C,D\},\circ )$
$U_{13}=(\{A,B,C,E,F\},\circ )$
$U_{14}=(\{A,B,D,E,F\},\circ )$
$U_{15}=(\{A,C,D,E,F\},\circ )$

mfg, W wallner

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wir haben das beispiel in der übung (WS08 Beispiel:256) gerechnet und unser tutor meinte, dass nur $U_{0}$ bis $U_{5}$ (in deinem Lösungsvorschlag) untergruppen sind von S3, weil alle anderen nicht abgeschlossen sind.

außerdem hat er uns einen hint gegeben für solche beispiele: die mögliche Anzahl von Elementen in Untergruppen ist ein Teiler der Anzahl von Elementen in der Gruppe selbst. was in diesem fall also heißt, es kann nur untergruppen der ordnung 1,2,3 und und 6 geben. ich habe diesbezüglich im orangen buch nachgeschaut und den Satz von Lagrange gefunden auf Seite 75:

Ist (G,o) endliche Gruppe, so ist die Ordnung |U| einer Untergruppe U $\leq$ G stets Teiler der Gruppenordnung |G|, und es gilt |G:U|=|G|\|U|

lg, --Cherrybonbon 19:57, 7. Dez. 2008 (UTC)

Anmerkung: laut Satz von Lagrange wären trotzdem $U_{6}$, $U_{7}$ und $U_{8}$ Untergruppen, jedoch sind diese nicht abgeschlossen (zB BoC kann nicht A, B oder C ergeben, jedoch ist $U_{5}$ abgeschlossen, da EoF=FoE=A gilt).