TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 381
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Man zeige: Das Zentrum Z(G) = {x ∈ G | x · y = y · x f¨ur alle y ∈ G} einer Gruppe
ist Normalteiler von G.
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oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Sei , da das neutrale Element .
Seien weiters und daher auch das inverse Element
Aus der Voraussetzung folgt für ein beliebiges :
.
Daher gilt auch .
Aufgrund des Satzes "Eine Untergruppe H von G ist genau dann Normalteiler, wenn für jedes und gilt: ." ist nun bewiesen, dass Z(G) ein Normalteiler von G ist.
lg f.l.o.