TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 394

Bestimmen sie alle Untergruppen von $⟨{\mathbb{Z}}_{13},+⟩$.

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Lösungsvorschlag

Satz von Lagrange besagt, dass die Mächtigkeit der Untergruppe ein Teiler der Mächtigkeit der Gruppe ist. Die Mächtigkeit der Gruppe $⟨{\mathbb{Z}}_{13},+⟩$ ist 13. Da 13 eine Primzahl ist, sind die einzigen Teiler 1 und 13. Die Untergruppen sind somit die trivialen Untergruppen, nämlich die Untergruppen mit dem neutralen Element bezüglich der Addition $\{0\}$ und die Gruppe selbst.