TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 399

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Vergleiche mit TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS07/Beispiel_275

Lösungsvorschlag von Vollspast

Wir haben einen Gruppenhomomorphismus f zwischen den beiden Gruppen $((\mathbb {Z} _{3})^{2},+)$ und $((\mathbb {Z} _{3})^{4},+)$. Da f ein Homomorphismus ist, gilt per Definition:

f(a) + f(b) = f(a + b)

Sei nun a = (0,1) und b = (1,0). Es gilt:

f(a + b) = f(a) + f(b)

f((0,1) + (1,0)) = f(0,1) + f(1,0)

f(1,1) = f((0,1) + (1,0)) = f(0,1) + f(1,0)

Wir erhalten also durch Addieren der bereits bekannten Funktionswerte, nämlich für (0,1) und (1,0), den Funktionswert, der durch das Urbild (1,1) entsteht. Auf diese Weise lassen sich die Funktionswerte für alle möglichen Urbilder ermitteln. Man beachte, dass das Addieren stets komponentenweise erfolgt und modulo 3 gerechnet wird.

f(0,2) = f(0,1) + f(0,1) = (1,0,0,2) + (1,0,0,2) = (2,0,0,1)

f(2,0) = f(1,0) + f(1,0) = (0,1,2,1) + (0,1,2,1) = (0,2,1,2)

f(1,1) = f(0,1) + f(1,0) = (1,0,0,2) + (0,1,2,1) = (1,1,2,0)

f(1,2) = f(1,1) + f(0,1) = (1,1,2,0) + (1,0,0,2) = (2,1,2,2)

f(2,1) = f(1,1) + f(1,0) = (1,1,2,0) + (0,1,2,1) = (1,2,1,1)

f(2,2) = f(2,1) + f(0,1) = (1,2,1,1) + (1,0,0,2) = (2,2,1,0)

f(0,0) = f(2,2) + f(1,1) = (2,2,1,0) + (1,1,2,0) = (0,0,0,0)

Letzteres ist übrigens nicht sehr verwunderlich, da durch jeden Homomorphismus von G nach H das neutrale Element von G auf das neutrale Element von H abgebildet wird.