TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 400

Von der Abbildung $f:\left(\mathbb {Z} _{3}\right)^{2}\rightarrow \left(\mathbb {Z} _{3}\right)^{4}$ sei bekannt, dass $f$ ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist (die jeweils komponentenweise definiert sein soll), sowie dass $f\left(1,0\right)=\left(1,0,0,2\right),f\left(1,1\right)=\left(1,2,0,1\right)$. Man ermittle daraus $f\left(w\right)$ für alle $w\in \left(\mathbb {Z} _{3}\right)^{2}$

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Lösungsvorschlag

Da $f$ ein Homomorphismus ist gilt folgendes:

$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$

Beispiel:

$f\left(2,1\right)=f\left(\left(1,0\right)+\left(1,1\right)\right)=f\left(1,0\right)+f\left(1,1\right)=\left(1,0,0,2\right)+\left(1,2,0,1\right)=\left(2,2,0,0\right)$.

Durch die bereits bekannten Funktionswerte kann man also die anderen berechnen. $f\left(w\right)$ kann man z.B. wie folgt berechnen:

$f\left(0,0\right)=f\left(\left(1,1\right)+\left(1,1\right)+\left(1,1\right)\right)=f\left(1,1\right)+f\left(1,1\right)+f\left(1,1\right)=\left(1,2,0,1\right)+\left(1,2,0,1\right)+\left(1,2,0,1\right)=\left(0,0,0,0\right)$.

$f\left(0,1\right)=f\left(\left(1,1\right)+\left(1,0\right)+\left(1,0\right)\right)=f\left(1,1\right)+f\left(1,0\right)+f\left(1,0\right)=\left(1,2,0,1\right)+\left(1,0,0,2\right)+\left(1,0,0,2\right)=\left(0,2,0,2\right)$.

$f\left(0,2\right)=f\left(\left(0,1\right)+\left(0,1\right)\right)=f\left(0,1\right)+f\left(0,1\right)=\left(0,2,0,2\right)+\left(0,2,0,2\right)=\left(0,1,0,1\right)$.

$f\left(1,0\right)=\left(1,0,0,2\right)$

$f\left(1,1\right)=\left(1,2,0,1\right)$

$f\left(1,2\right)=f\left(\left(0,1\right)+\left(1,1\right)\right)=f\left(0,1\right)+f\left(1,1\right)=\left(0,2,0,2\right)+\left(1,2,0,1\right)=\left(1,1,0,0\right)$

$f\left(2,0\right)=f\left(\left(1,0\right)+\left(1,0\right)\right)=f\left(1,0\right)+f\left(1,0\right)=\left(1,0,0,2\right)+\left(1,0,0,2\right)=\left(2,0,0,1\right)$

$f\left(2,1\right)=f\left(\left(1,0\right)+\left(1,1\right)\right)=f\left(1,0\right)+f\left(1,1\right)=\left(1,0,0,2\right)+\left(1,2,0,1\right)=\left(2,2,0,0\right)$

$f\left(2,2\right)=f\left(\left(1,1\right)+\left(1,1\right)\right)=f\left(1,1\right)+f\left(1,1\right)=\left(1,2,0,1\right)+\left(1,2,0,1\right)=\left(2,1,0,2\right)$