TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 431

Seien $\langle R_{1},+_{1},*_{1}\rangle$ und $\langle R_{2},+_{2},*_{2}\rangle$ Ringe. Man zeige, daß dann auch $R_{1}\times R_{2}$ ein Ring ist.

$(a,b)+_{3}(c,d)=(a+_{1}c,b+_{2}d)$
$(a,b)*_{3}(c,d)=(a*_{1}c,b*_{2}d)$
$a,c\in R_{1}$

$b,d\in R_{2}$

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Hinweise zur Lösung

$\langle R_{1},+_{1},*_{1}\rangle$ ist ein Ring, wenn

• $\langle R_{1},+_{1}\rangle$ eine kommutative (=abelsche) Gruppe ist und
• $\langle R_{1},*_{1}\rangle$ eine Halbgruppe ist und
• $*_{1}$ distributiv $+_{1}$ ist.
  
  

Analoges gilt für $R_{2}$

Ausserdem ist $R_{1}\times R_{2}$ folgendermassen definiert

• $R_{1}\times R_{2}:=(a,b)|a\in R_{1}\wedge b\in R_{2}$

Lösung von TheDon

Ist $\langle R_{1}\times R_{2},+_{3},*_{3}\rangle$ ein Ring, also

• $\langle R_{1}\times R_{2},+_{3}\rangle$ eine kommutative Gruppe und
• $\langle R_{1}\times R_{2},*_{3}\rangle$ eine Halbgruppe und
• gilt das Distributivgesetz?

$\langle R_{1}\times R_{2},+_{3}\rangle$

Abgeschlossenheit

$(a,b)+_{3}(c,d)=(a+_{1}c,b+_{2}d)$

${{a,c\in R_{1}\Rightarrow a+_{1}c\in R_{1}} \atop {b,d\in R_{2}\Rightarrow b+_{2}d\in R_{2}}}\Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativ

$[(a,b)+_{3}(c,d)]+_{3}(e,f)=(a,b)+_{3}[(c,d)+_{3}(e,f)]$
$[(a+_{1}c,b+_{2}d)]+_{3}(e,f)=(a,b)+_{3}[(c+_{1}e,d+_{2}f)]$
$(a+_{1}c+_{1}e,b+_{2}d+_{2}f)=(a+_{1}c+_{1}e,b+_{2}d+_{2}f)$

Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.

Neutrales Element

$(a,b)+_{3}(x,y)=(a,b)=(x,y)+_{3}(a,b)$
$(a+_{1}x,b+_{2}y)=(a,b)=(a+_{1}x,b+_{2}y)$

$a+_{1}x=a\Rightarrow x=$Neutrales Element aus $R_{1}(e_{1})$
$b+_{2}y=b\Rightarrow y=$Neutrales Element aus $R_{2}(e_{2})$

$(e_{1},e_{2})$ ist das Neutrale Element von $R_{1}\times R_{2}$.

Inverse Elemente

$(a,b)+_{3}(c,d)=(e_{1},e_{2})=(c,d)+_{3}(a,b)$
$(a+_{1}c,b+_{2}d)=(e_{1},e_{2})=(a+_{1}c,b+_{2}d)$

$a+_{1}c=e_{1}\Rightarrow c=-a$
$b+_{2}d=e_{2}\Rightarrow d=-b$

$(-a,-b)$ ist das inverse Element zu $(a,b)$.

Kommutativ

Die Kommutativität haben wir bereits beim neutralen bzw. inversen Element gezeigt.

Schlussfolgerung

$\langle R_{1}\times R_{2},+_{3}\rangle$ ist eine kommutative Gruppe.

$\langle R_{1}\times R_{2},*_{3}\rangle$

Abgeschlossenheit

$(a,b)*_{3}(c,d)=(a*_{1}c,b*_{2}d)$

${{a,c\in R_{1}\Rightarrow a*_{1}c\in R_{1}} \atop {b,d\in R_{2}\Rightarrow b*_{2}d\in R_{2}}}\Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativ

$[(a,b)*_{3}(c,d)]*_{3}(e,f)=(a,b)*_{3}[(c,d)*_{3}(e,f)]$
$[(a*_{1}c,b*_{2}d)]*_{3}(e,f)=(a,b)*_{3}[(c*_{1}e,d*_{2}f)]$
$(a*_{1}c*_{1}e,b*_{2}d*_{2}f)=(a*_{1}c*_{1}e,b*_{2}d*_{2}f)$

Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.

Schlussfolgerung

$\langle R_{1}\times R_{2},*_{3}\rangle$ ist eine Halbgruppe

$*_{3}$ distributiv $+_{3}$

Distributivität von $\langle R_{1},+_{1},*_{1}\rangle$
$a*_{1}(b+_{1}c)=a*_{1}b+_{1}a*_{1}c$

Distributivität von $\langle R_{2},+_{2},*_{2}\rangle$
$a*_{2}(b+_{2}c)=a*_{2}b+_{2}a*_{2}c$

Distributivität von $\langle R_{1}\times R_{2},+_{3},*_{3}\rangle$
$(a,b)*_{3}[(c,d)+_{3}(e,f)]=(a,b)*_{3}(c,d)+_{3}(a,b)*_{3}(e,f)$
$(a,b)*_{3}[c+_{1}e,d+_{2}f]=(a*_{1}c,b*_{2}d)+_{3}(a*_{1}e,b*_{2}f)$
$(a*_{1}(c+_{1}e),b*_{2}(d+_{2}f))=(a*_{1}c+_{1}a*_{1}e,b*_{2}d+_{2}b*_{2}f)$
$(a*_{1}c+_{1}a*_{1}e,b*_{2}d+_{2}b*_{2}f)=(a*_{1}c+_{1}a*_{1}e,b*_{2}d+_{2}b*_{2}f)$

Da wieder beide Gleichungsseiten ident sind, ist auch $*_{3}$ distributiv $+_{3}$.

(Das ist falsch, oder? Bzw. nur teilweise richtig. Hier wurde nur bewiesen, dass es linksdistributiv ist, also a*(b+c) = a*b + a*c. Damit es "distributiv" ist, muss es gleichzeitig noch rechtsdistributiv sein: (a+b)*c = a*c + b*c. Siehe Buch S. 80.)

Antwort: Da du hast Recht. Man geht hier nach dem gleichen Prinzip vor, um die Rechtsdistributivität zu zeigen.

Schlusssatz

$\langle R_{1}\times R_{2},+_{3},*_{3}\rangle$ ist ein Ring