TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 451

Sei $(M,\land ,\lor )$ eine Boolesche Algebra. Beweisen Sie:

a) $\forall a\in M:a\lor 1=1,a\land 0=0$.

b) Falls $a\lor b=1$ und $a\land b=0$, so folgt $b=a'$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

(Mathematik für Informatik (2.Auflage) Seite 87)

a) Term mit 1 bzw. 0 erweitern und dann das Verschmelzungsgesetz anwenden:

  $a\lor 1=(a\lor 1)\land 1=1$
  $a\land 0=(a\land 0)\lor 0=0$

b) Für den ersten Teil des Beweises verwenden wir $a\lor b=1$:

  $a'=a'\land 1=a'\land (a\lor b)=(a'\land a)\lor (a'\land b)=0\lor (a'\land b)=a'\land b$

Für den zweiten Teil verwenden wir $a\land b=0$

  $b=b\land 1=b\land (a\lor a')=(b\land a)\lor (b\land a')=0\lor (b\land a')=b\land a'$

Sowohl $a'$ als auch $b$ sind $b\land a'$. Somit stimmt die Behauptung $b=a'$.