TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 492

Zeigen Sie, daß $B=\left\{{\begin{pmatrix}-1\\4\\-4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}\right\}$eine Basis des $\mathbb {R} ^{3}$ ist.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Definition Basis

Eine Teilmenge von B eines Vektorraums V heißt Basis von V, wenn sie linear unabhängig ist und ihre lineare Hülle [B] gleich V ist.

lineare Hülle

Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.

$v\notin \left[M\backslash \{v\}\right]\quad \forall v\in M$

lineare Unabhängigkeit

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn es keinen Vektor v in der Menge M gibt, der durch Linearkombinationen der anderen Vektoren der Menge dargestellt werden kann.
Mathematisch ausgedrückt:

Um zu zeigen, dass die Vektoren unabhängig sind, muss man beweisen, dass die Linearkombination

$\lambda _{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\lambda _{2}\cdot {\vec {v}}_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot {\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

trivial ist, d.h. dass $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\cdots =\lambda _{n}=0$

Lösungsvorschlag

Lt. Definition muss gezeigt werden, dass die Menge B

• linear unabhängig ist
• die lineare Hülle von B gleich $\mathbb {R} ^{3}$ ist

lineare Unabhängigkeit

Nun rechnen wir einmal die Koeffizienten der folgenden Linearkombination aus

$\lambda _{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\lambda _{2}\cdot {\vec {v}}_{2}+\lambda _{3}\cdot {\vec {v}}_{3}={\vec {0}}$

$\lambda _{1}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\4\\-4\end{pmatrix}}+\lambda _{2}\cdot {\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}}+\lambda _{3}\cdot {\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}={\vec {0}}$

Das kann man nun als folgendes Gleichungssystem umschreiben:

$\lambda _{1}\cdot (-1)+\lambda _{2}\cdot 2+\lambda _{3}\cdot 3=0$

$\lambda _{1}\cdot 2+\lambda _{2}\cdot (-2)+\lambda _{3}\cdot 1=0$

$\lambda _{1}\cdot (-4)+\lambda _{2}\cdot 7+\lambda _{3}\cdot 1=0\Rightarrow \lambda _{3}=\lambda _{1}\cdot 4-\lambda _{2}\cdot 7$

aus der dritten Gleichung wird $\lambda _{3}$ ausgedrückt und ind die verbleibenden Gleichungen eingesetzt

$\lambda _{1}\cdot (-1)+\lambda _{2}\cdot 2+(\lambda _{1}\cdot 4-\lambda _{2}\cdot 7)\cdot 3=0$

$\lambda _{1}\cdot 2+\lambda _{2}\cdot (-2)+(\lambda _{1}\cdot 4-\lambda _{2}\cdot 7)\cdot 1=0$

das ergibt

$\lambda _{1}\cdot 11-\lambda _{2}\cdot 19=0$ $\lambda _{1}\cdot 6-\lambda _{2}\cdot 9=0\Rightarrow \lambda _{1}={\frac {3}{2}}\lambda _{2}$

und schlussendlich auch <br\>

$11\cdot {\frac {3}{2}}\lambda _{2}-19\lambda _{2}=0\Rightarrow \lambda _{2}=0$

$\Rightarrow \lambda _{1}=\lambda _{3}=0$

$\Rightarrow$ B ist linear unabhängig

linear Hülle

Nun muss man noch zeigen, dass die lineare Hülle von B gleich $\mathbb {R} ^{3}$ ist.

Um zu zeigen, dass zwei Mengen A, B identisch sind, geht man überlicherweise den Weg, dass man zeigt, dass A Teilmenge von B ist und umgekehrt:

$A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A$

D.h. in unserem Fall ist zu zeigen, dass $[B]\subseteq \mathbb {R} ^{3}\land \mathbb {R} ^{3}\subseteq [B]$ gilt

Der erste Fall $[B]\subseteq \mathbb {R} ^{3}$

Dazu überlegt man sich, ob alle möglichen Linearkombinationen innerhalb von $\mathbb {R} ^{3}$ liegen

$\lambda _{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\lambda _{2}\cdot {\vec {v}}_{2}+\lambda _{3}\cdot {\vec {v}}_{3}={\vec {x}}$

umgeschrieben bedeutet das:

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\cdot (-1)+\lambda _{2}\cdot 2+\lambda _{3}\cdot (3)\\\lambda _{1}\cdot 4+\lambda _{2}\cdot (-4)+\lambda _{3}\cdot 2\\\lambda _{1}\cdot (-4)+\lambda _{2}\cdot 7+\lambda _{3}\cdot 1\end{pmatrix}}$

Man sieht also, ganz egal, wie man $\lambda _{i}$ wählt (solange man beachtet, dass $\lambda _{i}\in \mathbb {R}$ ) gilt ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}$

$\Rightarrow [B]\subseteq \mathbb {R} ^{3}$

Der zweite Fall $\mathbb {R} ^{3}\subseteq [B]$

Der Fall ist etwas komplizierter. Man muss beweisen, dass sämtliche Vektoren aus $\mathbb {R} ^{3}$ auch in [B] enthalten sind. Dazu zeigt man, dass man jeden beliebigen Vektor aus $\mathbb {R} ^{3}$ durch eine Linearkombination aus B bilden kann. Man beginnt mit der selben Gleichung wie zuvor:

$\lambda _{1}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\4\\-4\end{pmatrix}}+\lambda _{2}\cdot {\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}}+\lambda _{3}\cdot {\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

Das ergibt folgendes Gleichungssystem:

$\lambda _{1}\cdot (-1)+\lambda _{2}\cdot 2+\lambda _{3}\cdot 3=x_{1}$

$\lambda _{1}\cdot 2+\lambda _{2}\cdot (-2)+\lambda _{3}\cdot 1=x_{2}$

$\lambda _{1}\cdot (-4)+\lambda _{2}\cdot 7+\lambda _{3}\cdot 1=x_{3}$

Nun berechnet man aus diesem System die $\lambda _{i}$. Ich erspare mir hier die einzelnen Rechenschritte und präsentiere nur die Ergbnisse:

$\lambda _{1}={\frac {22\cdot x_{1}-19\cdot x_{2}-28\cdot x_{3}}{14}}$

$\lambda _{2}={\frac {12\cdot x_{1}-11\cdot x_{2}-14\cdot x_{3}}{14}}$

$\lambda _{3}={\frac {4\cdot x_{1}-x_{2}}{14}}$

Anhand von diesen Ergebnis erkennt man, dass man für jeden beliebigen Vektor aus $\mathbb {R} ^{3}$ die $\lambda _{i}$ berechnen kann und dabei gilt, dass $\lambda _{i}\in \mathbb {R}$

$\Rightarrow \mathbb {R} ^{3}\subseteq [B]$

und damit folgt schlußendlich: $\mathbb {R} ^{3}=[B]$

Links

siehe auch Lösung aus früherem Semester; dort wird der Beweis über den Rang der Matrix geführt