TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 548

Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper K,
K=Q

2x₁ +x₂ + x₃ = 0
  x₁       + x₃ = 1

4x₁       + x₃ = 4

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von mfa

(A, b)= ${\begin{pmatrix}2&1&1&|0\\1&0&1&|1\\4&0&1&|4\end{pmatrix}}$

Vertauschen der Zeilen wie folgt:
1. Zeile an 2. Stelle
2. Zeile an 3. Stelle
3. Zeile an 1. Stelle

(A, b)= ${\begin{pmatrix}4&0&1&|4\\2&1&1&|0\\1&0&1&|1\end{pmatrix}}$

1. Zeile - (3. Zeile * -4)

1. Zeile - (2. Zeile * -2)

(A, b) ${\begin{pmatrix}4&0&1&|4\\0&-2&-1&|4\\0&0&-3&|0\end{pmatrix}}$
r = n $\rightarrow$ Das System ist eindeutig lösbar Unbekannte errechnen:
-3x₃ = 0 / : -3
   x₃ = 0

-2x₂ = 4 / : -2
   x₂ = -2

 4x₁ = 4 / : 4
   x₁ = 1

x = ${\begin{pmatrix}x1\\x2\\x3\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}}$

Zusatz von JInformatics:

Die Lösung stimmt, aber man kann durch geschicktes (und nicht kompliziertes) vereinfachen der Matrix , links eine Einheitsmatrix hinbekommen und somit die Lösung sofort ablesen.

${\begin{pmatrix}1&0&0&|1\\0&1&0&|-2\\0&0&1&|0\end{pmatrix}}$