TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 582

Sei

$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\\ 5& -1& 7\\ 2& 0& 3\end{array}\right)$.

Man zeige, dass A nichtsingulär ist und berechne $A^{-1}$. Schließlich ermittle man $A\ast A^{-1}$ und $A^{-1}\ast A$ und

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Lösungsvorschlag von mnemetz

Nachweis, daß A ist nichtsingulär ist

Damit ich sichergehen kann, dass A invertierbar ist, muss ich zeigen, dass die Determinante nicht Null ist.

$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\\ 5& -1& 7\\ 2& 0& 3\end{array}\right)(-2)\ast (-1)\ast 3+4\ast 7\ast 2+0-0-4\ast 5\ast 3-0=6+56+0-0-60=2$.

Die Invertierbarkeit ist daher gegeben!

(Determinante nach der Regel von Sarrus mit der Formel $det(A)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right)=a_{1,1}\ast a_{2,2}\ast a_{3,3}+a_{1,2}\ast a_{2,3}\ast a_{3,1}+a_{1,3}\ast a_{2,1}\ast a_{3,2}-a_{1,3}\ast a_{2,2}\ast a_{3,1}-a_{1,2}\ast a_{2,1}\ast a_{3,3}-a_{1,1}\ast a_{2,3}\ast a_{3,2}$ berechnet)

Berechnung der Inversen (mit Hilfe der Determinante)

Siehe z.B. auch den entsprechenden Wikipedia-Eintrag!

Die Inverse lässt sich mit Hilfe der Determinanten der Matrix berechnen, und zwar nach der Formel

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot A^{†}$,

dabei ist $A^{†}$ die komplementäre Matrix zu A (auch algebraisches Komplement genannt).

Die Transponierte der aus den vorzeichenbehafteten Minoren bestehende Matrix bezeichnet man als die zu A komplementäre Matrix A^#:

$A^{\mathrm{♯}}:=\left(\begin{array}{cccc}+det(A_{1,1})& -det(A_{2,1})& \dots & (-1{)}^{1+n}det(A_{n,1})\\ -det(A_{1,2})& +det(A_{2,2})& \dots & (-1{)}^{2+n}det(A_{n,2})\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ (-1{)}^{n+1}det(A_{1,n})& (-1{)}^{n+2}det(A_{2,n})& \dots & +det(A_{n,n})\end{array}\right)$

Als erstes benötigen wir eine Art "Vorzeichenmuster": $\left(\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right)$

$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\\ 5& -1& 7\\ 2& 0& 3\end{array}\right)$.

$A^{†}=\left(\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}-1& 7\\ 0& 3\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}5& 7\\ 2& 3\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}5& -1\\ 2& 0\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 3\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}-2& 0\\ 2& 3\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& -4\\ 2& 0\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}-4& 0\\ -2& -7\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}-2& 0\\ 5& 7\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}-2& 4\\ 5& -1\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-3& -1& 2\\ -12& -6& 8\\ 28& 14& -18\end{array}\right)$.

Die Matrix muss nun transponiert werden:

$A^{†}=\left(\begin{array}{ccc}-3& -12& 28\\ -1& -6& 14\\ 2& 8& -18\end{array}\right)$.

Somit erhalten für die inverse Matrix von A:

$A^{-1}=\frac{1}{2}\cdot A^{†}=\left(\begin{array}{ccc}-1,5& -6& 14\\ -0,5& -3& 7\\ 1& 4& -9\end{array}\right)$,

Berechnung der Inversen (mit Hilfe des Gauss-Verfahrens)

Auch mit dem Gauss'schen Eliminatiosnverfahren kann die Inverse berechnet werden (wird hier nicht behandelt!).

Berechnung von A*A^(-1) und A^(-1)*A

Falk-Methode

Das Falksche Schema ist eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der Matrizenmultiplikation von Hand bietet. Der linke Faktor, die (m × r)-Matrix, wird links von der (m × n)-Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die (r × n)-Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die ite Zeile des linken Multiplikanden und die jte Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.

Gegeben sind die Matrizen

$A_{3\times 2}=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& -6\end{array}\right)$ und $B_{2\times 2}=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$ .

Es soll das Produkt C = A · B ermittelt werden. C ist eine 3 × 2-Matrix.

Spalte j 1 2 -1 1 Zeile i               1 -2 1 1 4 2 2 5 3 3 -6

Es wird das Falksche Schema aufgestellt.

Spalte j 1 2 -1 1 Zeile i               1 -2 1 1 4 3 2 2 5 3 3 -6

Die erste Zeile von A wird elementweise mit der ersten Spalte von B multipliziert: 1 · (-1) + 4 · 1 = 3 und ergibt das Element c11 = 3.

Spalte j 1 2 -1 1 Zeile i               1 -2 1 1 4 3 -7 2 2 5 3 3 -6

Die erste Zeile von A wird elementweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert: 1 · 1 + 4 · (-2) = -7 und ergibt das Element c12 = -7.

...

Spalte j 1 2 -1 1 Zeile i               1 -2 1 1 4 3 -7 2 2 5 3 -8 3 3 -6 -9 15

Die dritte Zeile von A wird elementweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert: 3 · 1 + (-6) · (-2) = 15 und ergibt das Element c32 = 15.

A * A^-1

$A\ast A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\\ 5& -1& 7\\ 2& 0& 3\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{ccc}-1,5& -6& 14\\ -0,5& -3& 7\\ 1& 4& -9\end{array}\right)$

Nach dem Falkschem Schema ergibt sich:

$\begin{array}{cccccc}& & & -1,5& -6& 14\\ & & & -0,5& -3& 7\\ & & & 1& 4& -9\\ -2& 4& 0& 1& 0& 0\\ 5& -1& 7& 0& 1& 0\\ 2& 0& 3& 0& 0& 1\end{array}$

$A\ast A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\\ 5& -1& 7\\ 2& 0& 3\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{ccc}-1,5& -6& 14\\ -0,5& -3& 7\\ 1& 4& -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

A^-1*A

$A^{-1}\ast A=\left(\begin{array}{ccc}-1,5& -6& 14\\ -0,5& -3& 7\\ 1& 4& 9\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\\ 5& -1& 7\\ 2& 0& 3\end{array}\right)$

Nach dem Falkschem Schema ergibt sich:

$\begin{array}{cccccc}& & & -2& 4& 0\\ & & & 5& -1& 7\\ & & & 2& 0& 3\\ -1,5& -6& 14& 1& 0& 0\\ -0,5& -3& 7& 0& 1& 0\\ 1& 4& -9& 0& 0& 1\end{array}$

$A^{-1}\ast A=\left(\begin{array}{ccc}-1,5& -6& 14\\ -0,5& -3& 7\\ 1& 4& -9\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\\ 5& -1& 7\\ 2& 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$