TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 589

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Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A sowie zu jedem Eigenwert alle Eigenvektoren:

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eigenwertäquivalenz
Eigenwertäquivalenz[Bearbeiten, 3.70 Satz]

Ein Skalar ist genau dann ein Eigenwert einer quadratischen Matrix , wenn .

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

von --Piri (Diskussion) 21:36, 29. Dez. 2018 (CET)

Für alle Eigenwerte muss gelten, also

(Tipp zum Faktorisieren des Polynoms 3. Grades zuerst die Nullstelle erraten und dann durch Polynomdivision das Polynom 2. Grades lösen)

Um nun die Eigenvektoren auszurechnen muss für jeden Eigenwert das Gleichungssystem gelöst werden. Dafür führen wir nun Zeilenumformungen auf der Systemmatrix durch (Anmk. Die 0er Spalte kann weggelassen werden)

Für

Es gibt also unendliche viele Lösungen. Wir wir setzen und berechnen dann Die Lösung für den Eigenwert ist also , also Alle Vektoren deren x,y und z Koordinate gleich sind.

Für

Es gibt wieder mehrere Lösungen also setzen wir und also ist .

Das ergibt dann die Lösung