TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 88

Gelten folgende Formeln? Geben Sie jeweils eine verbale Begründung.

(a) $\forall x\in \mathbb {N} \ \exists y\in \mathbb {N} :x<y$
(b) $\exists y\in \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb {N} :x<y$
(c) $\forall x\in \mathbb {N} \ \exists y\in \mathbb {N} :y<x$

(d) $\forall x\in \mathbb {Z} \ \exists y\in \mathbb {Z} :y<x$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Peano-Axiome

1. 0 (Null) ist eine natürliche Zahl
2. Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger
3. 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl
4. Verschiedene natürliche Zahlen besitzen verschiedene Nachfolger
5. Jede Eigenschaft, welche 0 zukommt und sich von jeder natürlichen Zahl auf den Nachfolger überträgt, kommt bereits allen natürlichen Zahlen zu

Lösungsvorschlag

Beispiel a

$\forall x\in \mathbb {N} \ \exists y\in \mathbb {N} :x<y$

In Worten: Für jedes x Element aus den natürlichen Zahlen, kann man ein y finden, welches größer ist als x.

Diese Behauptung gilt, weil man für jedes x ein y finden kann das größer ist als x (z. B.: y = x +1)

Beispiel b

$\exists y\in \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb {N} :x<y$

In Worten: Es existiert ein y, Element aus den natürlichen Zahlen, welches größer ist, als alle natürlichen Zahlen x

Das hier gilt nicht, weil es bedeuten würde, dass es zumindest einen Wert $y\in \mathbb {N}$ geben muss, der größer als alle $x\in \mathbb {N}$

Es würde auch folgen, dass y < y sein muss und das kann nun mal auch nicht sein.

Beispiel c

$\forall x\in \mathbb {N} \ \exists y\in \mathbb {N} :y<x$

Diese Formel gilt nicht, weil man nicht für jedes x ein kleiners y finden kann. Im Speziellen für x = 0 kann kein kleineres $y\in \mathbb {N}$ gefunden werden

Beispiel d

$\forall x\in \mathbb {Z} \ \exists y\in \mathbb {Z} :y<x$

Nun hier gilt die Formel wieder, weil man nicht mehr an den Zahlbereich von $\mathbb {N}$ gebunden ist, also auch negative Zahlen vorhanden sind.