TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VO (Panholzer)/Prüfung 2018-01-30

From VoWi
Jump to navigation Jump to search

Angabe[edit]

Aufgabe 1[edit]

Man erläutere das Prinzip der vollständigen Funktion anhand eines Beispiel. Gegeben ist eine Ungleichung, welche für alle n >= 1 gezeigt werden soll:

\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k} < 3 - \frac{n+3}{2^n}

Aufgabe 2[edit]

Kombinatorik

Seien die Mengen A=\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\} und B=\{b_1,b_2,b_3,...,b_n\} mit Mächtigkeit n, wobei die Menge A Herren und die Menge B Damen einer Tanzgruppe repräsentiert.

  • Ermitteln Sie eine Formel für A_n, wobei A_n die Anzahl der Möglichkeiten sind, ein Paar für einen Eröffnungstanz auszuwählen.
  • Ermitteln Sie eine Formel für B_n, wobei B_n die Anzahl der Möglichkeiten sind, Paare für einen gemeinsamen Tanz zu bilden. (Hinweis: Die erste Dame hat ??? Herren zur Auswahl, die zweite ???, und so weiter)

Nun sei die Menge C mit |C|=2n die Anzahl der Mitglieder eines Schachklubs.

  • Ermitteln Sie eine Formel für C_n, wobei C_n die Möglichkeiten sind, 2 Mitglieder auszuwählen, um ein Weltmeisterspiel vorzustellen (ungeordnetes Paar)
  • Ermitteln Sie eine Formel für D_n, wobei D_n die Möglichkeiten sind, aus allen Mitglieder Paare für ein Schachturnier zu bilden. (Hinweis ähnlich B_n)

Aufgabe 3[edit]

Zu ermitteln war die Basis zu einem Unterraum D = \vec x, welcher normal auf drei Vektoren aus \R^4 steht. Die Vektoren waren (glaube ich)

\vec a = \left(\begin{array}{c}2\\3\\1\\0\end{array}\right) \vec b = \left(\begin{array}{c}3\\4\\2\\-1\end{array}\right) \vec c = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\-1\end{array}\right)

Es war ein Hinweis auf das Skalarprodukt gegeben, und dass somit ein Gleichungssystem aufgestellt werden sollte.

Aufgabe 4[edit]

Graphentheorie

  • Man definiere für gerichtete Graphen die Eigenschaften stark und schwach zusammenhängend.
  • Man formuliere das Handschlaglemma für ungerichtete Graphen (Voraussetzungen!), und zeige dieses anhand des vollständigen Graphen K_4.
  • Man formuliere die Euler'sche Polyederformel und zeige deren Gültigkeit für die planare Darstellung des Graphen K_4. (Hinweis auf Voraussetzungen und Erklärung der Bezeichnungen in der Formel)

Aufgabe 5[edit]

Ankreuzaufgabe über imaginäre Zahlen, Aussagenlogik, Relationen (Funktionen) und Quantoren

(1) \sqrt[3]{i} ist definiert als:

(2) Wie lautet die kartesische Darstellung von \frac{1}{1+i}

(3) Wie ist die symmetrische Differenz  A \bigtriangleup B zwischen zwei Mengen definiert?

(4)  (A \cup B)' ,also das Komplement der Menge, kann auch geschrieben werden als:

(5) Welche dieser Aussagen ist richtig:

  • \forall x \forall y:P(x,y)\iff \forall y \forall x:P(x,y)
  • \forall x \exists y:P(x,y)\iff \forall y \exists x:P(x,y)
  • \exists x \exists y:P(x,y)\iff \exists y \exists x:P(x,y)

(6) Welche der folgenden Aussagen ist gültig, welche eine erfüllbare Formel:

  • a \or \neg a
  • a \to b \iff \neg b \to a
  • \neg a \or (a \to b)
  • a \or (a \to b)

(7) Welche Eigenschaften erfüllt die Funktion \R_0^- \to \R: f(x)=x^2

  • surjektiv
  • injektiv
  • es existiert eine Umkehrfunktion f^{-1}(x)

(8) Welche Funktion von \R \to \R ist bijektiv?

  • f(x)=x
  • f(x)=x^{-1}
  • f(x)=x^2

Lösung[edit]