TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (Panholzer)/Prüfung 2018-01-30

Angabe

Aufgabe 1

Man erläutere das Prinzip der vollständigen Funktion anhand eines Beispiel. Gegeben ist eine Ungleichung, welche für alle n >= 1 gezeigt werden soll:

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{2^{k}}}<3-{\frac {n+3}{2^{n}}}$

Aufgabe 2

Kombinatorik

Seien die Mengen $A=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}$ und $B=\{b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n}\}$ mit Mächtigkeit n, wobei die Menge A Herren und die Menge B Damen einer Tanzgruppe repräsentiert.

• Ermitteln Sie eine Formel für $A_{n}$, wobei $A_{n}$ die Anzahl der Möglichkeiten sind, ein Paar für einen Eröffnungstanz auszuwählen.
• Ermitteln Sie eine Formel für $B_{n}$, wobei $B_{n}$ die Anzahl der Möglichkeiten sind, Paare für einen gemeinsamen Tanz zu bilden. (Hinweis: Die erste Dame hat ??? Herren zur Auswahl, die zweite ???, und so weiter)

Nun sei die Menge C mit $|C|=2n$ die Anzahl der Mitglieder eines Schachklubs.

• Ermitteln Sie eine Formel für $C_{n}$, wobei $C_{n}$ die Möglichkeiten sind, 2 Mitglieder auszuwählen, um ein Weltmeisterspiel vorzustellen (ungeordnetes Paar)
• Ermitteln Sie eine Formel für $D_{n}$, wobei $D_{n}$ die Möglichkeiten sind, aus allen Mitglieder Paare für ein Schachturnier zu bilden. (Hinweis ähnlich B_n)

Aufgabe 3

Zu ermitteln war die Basis zu einem Unterraum $D={\vec {x}}$, welcher normal auf drei Vektoren aus $\mathbb {R} ^{4}$ steht. Die Vektoren waren (glaube ich)

${\vec {a}}=\left({\begin{array}{c}2\\3\\1\\0\end{array}}\right)$ ${\vec {b}}=\left({\begin{array}{c}3\\4\\2\\-1\end{array}}\right)$ ${\vec {c}}=\left({\begin{array}{c}1\\1\\1\\-1\end{array}}\right)$

Es war ein Hinweis auf das Skalarprodukt gegeben, und dass somit ein Gleichungssystem aufgestellt werden sollte.

Aufgabe 4

Graphentheorie

• Man definiere für gerichtete Graphen die Eigenschaften stark und schwach zusammenhängend.
• Man formuliere das Handschlaglemma für ungerichtete Graphen (Voraussetzungen!), und zeige dieses anhand des vollständigen Graphen $K_{4}$.
• Man formuliere die Euler'sche Polyederformel und zeige deren Gültigkeit für die planare Darstellung des Graphen $K_{4}$. (Hinweis auf Voraussetzungen und Erklärung der Bezeichnungen in der Formel)

Aufgabe 5

Ankreuzaufgabe über imaginäre Zahlen, Aussagenlogik, Relationen (Funktionen) und Quantoren

(1) ${\sqrt[{3}]{i}}$ ist definiert als:

(2) Wie lautet die kartesische Darstellung von ${\frac {1}{1+i}}$

(3) Wie ist die symmetrische Differenz $A\bigtriangleup B$ zwischen zwei Mengen definiert?

(4) $(A\cup B)'$,also das Komplement der Menge, kann auch geschrieben werden als:

(5) Welche dieser Aussagen ist richtig:

• $\forall x\forall y:P(x,y)\iff \forall y\forall x:P(x,y)$
• $\forall x\exists y:P(x,y)\iff \forall y\exists x:P(x,y)$
• $\exists x\exists y:P(x,y)\iff \exists y\exists x:P(x,y)$

(6) Welche der folgenden Aussagen ist gültig, welche eine erfüllbare Formel:

• $a\lor \neg a$
• $a\to b\iff \neg b\to a$
• $\neg a\lor (a\to b)$
• $a\lor (a\to b)$

(7) Welche Eigenschaften erfüllt die Funktion $\mathbb {R} _{0}^{-}\to \mathbb {R} :f(x)=x^{2}$

• surjektiv
• injektiv
• es existiert eine Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$

(8) Welche Funktion von $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist bijektiv?

• $f(x)=x$
• $f(x)=x^{-1}$
• $f(x)=x^{2}$

Lösung

6) - gültig - erfüllbar - erfüllbar - gültig

7) - injektiv - nicht surjektiv - die Umekehrfunktion sqrt(x) liegt nicht in der Menge von A (R_0)

8)

f(x) = x ist bijektiv