TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (Panholzer)/Prüfung 2018-01-30

Angabe

Aufgabe 1

Man erläutere das Prinzip der vollständigen Funktion anhand eines Beispiel. Gegeben ist eine Ungleichung, welche für alle n >= 1 gezeigt werden soll:

$\sum _{k=1}^n\frac{k}{2^k}<3-\frac{n+3}{2^n}$

Aufgabe 2

Kombinatorik

Seien die Mengen $A=\{a_1,a_2,a_3,\mathrm{...},a_n\}$ und $B=\{b_1,b_2,b_3,\mathrm{...},b_n\}$ mit Mächtigkeit n, wobei die Menge A Herren und die Menge B Damen einer Tanzgruppe repräsentiert.

• Ermitteln Sie eine Formel für $A_n$, wobei $A_n$ die Anzahl der Möglichkeiten sind, ein Paar für einen Eröffnungstanz auszuwählen.
• Ermitteln Sie eine Formel für $B_n$, wobei $B_n$ die Anzahl der Möglichkeiten sind, Paare für einen gemeinsamen Tanz zu bilden. (Hinweis: Die erste Dame hat ??? Herren zur Auswahl, die zweite ???, und so weiter)

Nun sei die Menge C mit $|C|=2n$ die Anzahl der Mitglieder eines Schachklubs.

• Ermitteln Sie eine Formel für $C_n$, wobei $C_n$ die Möglichkeiten sind, 2 Mitglieder auszuwählen, um ein Weltmeisterspiel vorzustellen (ungeordnetes Paar)
• Ermitteln Sie eine Formel für $D_n$, wobei $D_n$ die Möglichkeiten sind, aus allen Mitglieder Paare für ein Schachturnier zu bilden. (Hinweis ähnlich B_n)

Aufgabe 3

Zu ermitteln war die Basis zu einem Unterraum $D=\overrightarrow{x}$, welcher normal auf drei Vektoren aus ${ℝ}^4$ steht. Die Vektoren waren (glaube ich)

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ $\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Es war ein Hinweis auf das Skalarprodukt gegeben, und dass somit ein Gleichungssystem aufgestellt werden sollte.

Aufgabe 4

Graphentheorie

• Man definiere für gerichtete Graphen die Eigenschaften stark und schwach zusammenhängend.
• Man formuliere das Handschlaglemma für ungerichtete Graphen (Voraussetzungen!), und zeige dieses anhand des vollständigen Graphen $K_4$.
• Man formuliere die Euler'sche Polyederformel und zeige deren Gültigkeit für die planare Darstellung des Graphen $K_4$. (Hinweis auf Voraussetzungen und Erklärung der Bezeichnungen in der Formel)

Aufgabe 5

Ankreuzaufgabe über imaginäre Zahlen, Aussagenlogik, Relationen (Funktionen) und Quantoren

(1) $\sqrt[3]{i}$ ist definiert als:

(2) Wie lautet die kartesische Darstellung von $\frac{1}{1+i}$

(3) Wie ist die symmetrische Differenz $A△B$ zwischen zwei Mengen definiert?

(4) $(A\cup B{)}^{\prime }$,also das Komplement der Menge, kann auch geschrieben werden als:

(5) Welche dieser Aussagen ist richtig:

• $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y:P(x,y)⟺\mathrm{\forall }y\mathrm{\forall }x:P(x,y)$
• $\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }y:P(x,y)⟺\mathrm{\forall }y\mathrm{\exists }x:P(x,y)$
• $\mathrm{\exists }x\mathrm{\exists }y:P(x,y)⟺\mathrm{\exists }y\mathrm{\exists }x:P(x,y)$

(6) Welche der folgenden Aussagen ist gültig, welche eine erfüllbare Formel:

• $a\vee \mathrm{\neg }a$
• $a\to b⟺\mathrm{\neg }b\to a$
• $\mathrm{\neg }a\vee (a\to b)$
• $a\vee (a\to b)$

(7) Welche Eigenschaften erfüllt die Funktion ${ℝ}_0^{-}\to ℝ:f(x)=x^2$

• surjektiv
• injektiv
• es existiert eine Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$

(8) Welche Funktion von $ℝ\to ℝ$ ist bijektiv?

• $f(x)=x$
• $f(x)=x^{-1}$
• $f(x)=x^2$

Lösung

6) - gültig - erfüllbar - erfüllbar - gültig

7) - injektiv - nicht surjektiv - die Umekehrfunktion sqrt(x) liegt nicht in der Menge von A (R_0)

8)

f(x) = x ist bijektiv