Man erläutere das Prinzip der vollständigen Induktion an Hand eines Beweises der folgenden Identität, welche für alle natürlichen Zahlen
gezeigt werden soll (wobei
für
, den Binomialkoeffizienten bezeichne):
Im folgenden betrachten wir ternäre Wörter endlicher Länge über dem Alphabet
, also Wörter
mit
für vorgegebenes
.
- Sei
die Anzahl der ternären Wörter der Länge
, also
, mit
, für vorgegebenes
.
- Sei
die Anzahl an ternären Wörtern der Länge
, in denen das Symbol 1 genau einmal enthalten ist, für die also gilt:
. Geben Sie
für allgemeines
an. Zur Kontrolle: es gilt
,
.
- Sei
die Anzahl der ternären Wörter der Länge
, in denen je zwei aufeinanderfolgende Symbole verschieden sind (d.h., die keine Teilwörter 00, 11, oder 22 enthalten), für die also gilt:
, für
. Geben Sie
, für allgemeines
, an. Zur Kontrolle: es gilt ![{\displaystyle C_{1}=3,C_{2}=6}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6916ae6bd4757055a4ae1dafc23be580&mode=mathml)
Hinweis: Man überlege sich, wie viele Möglichkeiten es für das 1. Symbol
, dann für das 2. Symbol
, dann für das 3. Symbol
, etc. eines solchen Wortes gibt.
- Sei
die Anzahl der ternären Wörter der Länge
, in denen je zwei aufeinanderfolgende Symbole mindestens eine 0 enthalten, für die also gilt:
, für
. Es lässt sich leicht zeigen, dass
die folgende Differnezengleichung erfüllt (das brauchen Sie aber nicht beweisen, das dürfen Sie voraussetzen):![{\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+2D_{n-2},n\geq 2,D_{0}=1,D_{1}=3}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a61e923ffd606b2ffa216e21e4e951c1&mode=mathml)
Man löse diese Differenzengleichung und ermittle so eine allgemeine Formel für
. Zur Kontrolle: es gilt
.
Sei
eine lineare Abbildung mit folgender Abbildungsmatrix
bezüglich der kannonischen Basis, also
- Ermitteln Sie die Dimension des Kerns von
, also den Defekt
, und bestimmen Sie weiters eine Basis
des Kerns von
.
- Ermitteln Sie den Rang
von
, und bestimmen Sie weiters eine Basis
des Bildraums
.
- Man gebe eine exakte Definition der Restklasse
einer ganzen Zahl
modulo
.
- Wie ist der Restklassenring
definiert (Definition der Menge als auch der Rechenoperationen)?
- Geben sie für
die Operationstafeln für "
" und "
" explizit an.
- Warum ist für
, also
nicht prim, der Restklassenring
kein Körper? (Genaue Argumentation verlangt!)
Beantworten Sie die folgenden Fragen bzw. überprüfen Sie die nachstehenden Aussagen zu grundlegenden mathematischen Begriffen (bitte ankreuzen; es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein; für jede vollständige richtige Antwort gibt es einen Punkt: es wurden für falsche Antworten KEINE Punkte abgezogen).
Wie lautet für die komplexe Zahl
der Kehrwert
in kartesischer Darstellung?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}i}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4cdf8029e21ffa71323c54b61c462204&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}i}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fe0ff36e2ede98e9461363a9ed4ca231&mode=mathml)
![{\displaystyle 1-i}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cd43e640f774f7c9dc25d8f7ee96db2a&mode=mathml)
![{\displaystyle 1+i}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=95fc70af36e6fddbb3794e100f36fbf2&mode=mathml)
Welche der nachfolgend in Polarkoordinaten angegebenen komplexen Zahlen
erfüllen die Gleichung
?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
![{\displaystyle \left[1,{\frac {\pi }{2}}\right]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1f2332e05d4be55d66ab76f45f523218&mode=mathml)
![{\displaystyle \left[1,\pi \right]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=19572e774cc8eb767a2ec4a846fc94f3&mode=mathml)
![{\displaystyle \left[1,{\frac {3\pi }{2}}\right]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3de57469188b7ca884bf414764c38503&mode=mathml)
![{\displaystyle \left[1,0\right]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=16ae88db41a55dfe109dd432f0f72545&mode=mathml)
Welche der folgenden aussagenlogischen Formeln sind erfüllbar, aber nicht gültig?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Induktionsvoraussetzung:
Induktionsanfang:
: ![{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}\cdot \sum _{k=1}^{1}{\frac {k\cdot 2^{k}}{\binom {k+2}{k}}}=1+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {4}{3}}={\frac {2^{2}}{3}}={\frac {4}{3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a3f9a98932705a9ad8ec9019c04bb397&mode=mathml)
Induktionsbedingung:
Induktionsschritt:
:
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}\cdot \sum _{k=1}^{n+1}{\frac {k\cdot 2^{k}}{\binom {k+2}{k}}}={\frac {2^{n+2}}{n+3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8993f5066c514d31ffb1c0ac00930a3c&mode=mathml)
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}\cdot \sum _{k=1}^{n}{\frac {k\cdot 2^{k}}{\binom {k+2}{k}}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(n+1)\cdot 2^{n+1}}{\binom {n+3}{n+1}}}={\frac {2^{n+2}}{n+3}}\quad \mid I.V.einsetzen\ (1+..)\ auch\ substituieren}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4ca9b3b4716a8a6e77bb3df32cd405b7&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{n+2}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(n+1)\cdot 2^{n+1}}{\binom {n+3}{n+1}}}={\frac {2^{n+2}}{n+3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8f47eff6f0fdab45950c88f54510efa5&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{n+2}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(n+1)\cdot 2^{n+1}}{\frac {(n+3)!}{(n+1)!\cdot 2!}}}={\frac {2^{n+2}}{n+3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=85c81c58d634f0f9504fb13d81bb10cd&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{n+2}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(n+1)\cdot (n+1)!\cdot 2^{n+2}}{(n+3)!}}={\frac {2^{n+2}}{n+3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fa46ecb1c716755f430204aa8c6e592b&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{n+2}}+{\frac {(n+1)(n+1)!\cdot 2^{n+1}}{(n+3)(n+2)(n+1)!}}={\frac {2^{n+2}}{n+3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a56daa52b44e45cf9866c1136dbdc043&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {(n+3)\cdot 2^{n+1}+(n+1)\cdot 2^{n+1}}{n+2}}=2^{n+2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b0c920c5b29bd8870139101e6baee1a7&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {(n+3+n+1)\cdot 2^{n+1}}{n+2}}=2^{n+2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=102faca8715c98dc3a549f33d0b79a11&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {(2n+4)\cdot 2^{n+1}}{n+2}}=2^{n+2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b1413a2df6776eb48166659c213aaab9&mode=mathml)
![{\displaystyle {\frac {2\cdot (n+2)\cdot 2^{n+1}}{n+2}}=2^{n+2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=894dedf2fc74730319f904d19a85d7c4&mode=mathml)
![{\displaystyle 2^{n+2}=2^{n+2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=193a52266c3bd5fb5e41d1f28d732d29&mode=mathml)
Aufgabe 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
![{\displaystyle A_{n}=3^{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=61551e826bd4c07bc860565fcf08cfdb&mode=mathml)
![{\displaystyle B_{n}=n\cdot 2^{n-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dc304dc7db188250ae33ed482d918232&mode=mathml)
![{\displaystyle C_{n}=3\cdot 2^{n-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0a21b739369d39cd760a634e7df8f3e8&mode=mathml)
![{\displaystyle D_{n}={\frac {4}{3}}\cdot 2^{n}-{\frac {1}{3}}\cdot (-1)^{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=87a8591b4084fe0c616bc54f21c2ca45&mode=mathml)
Lösungsvorschlag zu
:
![{\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+2D_{n-2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e8c772db17f2fe4c7dde5d09418ffe97&mode=mathml)
![{\displaystyle D_{n}-D_{n-1}-2D_{n-2}=0\quad \mid Indexverschiebung\ um\ n+2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1d94c25b8b62017e9113af0dbfeb9150&mode=mathml)
![{\displaystyle D_{n+2}-D_{n+1}-2D_{n}=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e478381bd8578632279198b17ba2a419&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda ^{n+2}-\lambda ^{n+1}-2\lambda ^{n}=0\quad \mid \cdot {\frac {1}{\lambda ^{n}}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=67f2e745cec1188a01bc083277089a9c&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda ^{2}-\lambda ^{1}-2\lambda ^{0}=0\quad \mid pq-Formel}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0b82c84e0ce10c16c123ffabfe3a1c97&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda _{1,2}=+{\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}+2}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=df06f415bf21c2ba27c07854a3278984&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {\frac {9}{4}}}={\frac {1}{2}}\pm {\frac {3}{2}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=57af25cf43f93d4eb0d1810fde18996a&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda _{1}=2,\lambda _{2}=-1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=aa83fd95eb1d5c3d82d1590978d0664e&mode=mathml)
![{\displaystyle D_{n}=C_{1}\cdot \lambda _{1}^{n}+C_{2}\cdot \lambda _{2}^{n}=C_{1}\cdot 2^{n}+C_{2}\cdot (-1)^{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2076e29f4864fe365cf9ed5b95db81c5&mode=mathml)
![{\displaystyle n=0:D_{0}=C_{1}\cdot \lambda _{1}^{n}+C_{2}\cdot \lambda _{2}^{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1c56485a73f4a3db4fcdffe4fa860dfe&mode=mathml)
![{\displaystyle n=1:D_{1}=C_{1}\cdot \lambda _{1}^{n}+C_{2}\cdot \lambda _{2}^{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1cdca59fa74f33902826f90205ca8f9d&mode=mathml)
![{\displaystyle 1=C_{1}\cdot 2^{0}+C_{2}\cdot (-1)^{0}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=68947b30b50221d614fd519a862c766c&mode=mathml)
![{\displaystyle 3=C_{1}\cdot 2^{1}+C_{2}\cdot (-1)^{1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=43b448a0196ba98bb6b459bc4d27517a&mode=mathml)
![{\displaystyle 1=C_{1}+C_{2}\Rightarrow C_{2}=1-C_{1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=39ed87665912d1c4b3f278c94b79cbea&mode=mathml)
![{\displaystyle 3=2C_{1}-C_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5b575e4d5539e0716a98ea693e5a0d99&mode=mathml)
![{\displaystyle 3=2C_{1}-1+C_{1}\Rightarrow 4=3C_{1}\Rightarrow C_{1}={\frac {4}{3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=15989131585a082a1f9b5f61bc73121c&mode=mathml)
![{\displaystyle C_{2}=1-C_{1}=1-{\frac {4}{3}}=-{\frac {4}{3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0910b66796f7c3f31a1a9b2bbb84674d&mode=mathml)
![{\displaystyle D_{n}={\frac {4}{3}}\cdot 2^{n}-{\frac {1}{3}}\cdot (-1)^{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c9fccc9fcfce09df5a9b01900ad2ddc4&mode=mathml)