TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (Panholzer)/Prüfung 2024-01-26

Angabe

Aufgabe 1 [10 Punkte] (Vollständige Induktion)

Gegeben sei die Zahlenfolge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, eine sogenannte Metallonacci-Folge, welche rekursiv definiert ist mittels

$x_{0}=0,x_{1}=1,\ und\ x_{n}=3x_{n-1}+x_{n-2},\ f{\ddot {u}}r\ n\geq 2$

Man erläutere das Prinzip der vollständigen Induktion an Hand eines Beweises der für alle natürlichen Zahlen $n\in \mathbb {N}$ gültigen Formel:

$3\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=x_{n}\cdot x_{n+1}$

Bemerkung: Alle Schritte des Induktionsbeweises müssen angegeben werden, wobei die verwendeten Begriffe ausgeschrieben (keine Abkürzungen verwendet) werden sollen.

Hinweis: Für den Beweis der Formel ist es NICHT nötig, die Rekursion explizit zu lösen.

Aufgabe 2 [10 Punkte] (Kombinatorik)

Es sollen Verteilungen von $n$ Kugeln auf $m$ unterscheidbare Fächer betrachtet werden. Man bestimme die Anzahl der verschiedenen Verteilungen in den nachfolgenden angegebenen Fällen, wobei jeweils eine Formel für ein allgemeines $m$ und $n$ sowie als Spezialiserung der Wert $m=4$ und $n=2$ anzugeben ist.

(a) Die Kugeln sind unterscheidbar und in jedem Fach kann maximal eine Kugel sein.

Die Anzahl der verschiedenen Verteilungen

$f^{[a]}(m,n)=\ ...$

$f^{[a]}(4,2)=\ ...$

(b) Die Kugeln sind nicht unterscheidbar und in jedem Fach kann maximal eine Kugel sein.

Die Anzahl der verschiedenen Verteilungen

$f^{[b]}(m,n)=\ ...$

$f^{[b]}(4,2)=\ ...$

(c) Die Kugeln sind unterscheidbar und in jedem Fach können beliebig viele Kugeln sein.

Die Anzahl der verschiedenen Verteilungen

$f^{[c]}(m,n)=\ ...$

$f^{[c]}(4,2)=\ ...$

(d) Die Kugeln sind nicht unterscheidbar und in jedem Fach können beliebig viele Kugeln sein.

Die Anzahl der verschiedenen Verteilungen

$f^{[d]}(m,n)=\ ...$

$f^{[d]}(4,2)=\ ...$

Aufgabe 3 [10 Punkte] (Lineare Abbildung)

Eine lineare Abbildung $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ ist durch die Angabe der Bilder für zwei Basisvektoren eindeutig bestimmt via

${\binom {1}{1}}\mapsto {\binom {0}{3}},\qquad {\binom {1}{3}}\mapsto {\binom {4}{5}}$

(a) Man ermittle die Abbildungsmatrix $A\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ von $f$ bezüglich der kanonischen Basis, sodass also $f({\vec {x}})=A\cdot {\vec {x}}$ gilt.

(b) Man berechne alle Eigenwerte von $A$ (und somit von $f$).

(c) Für den bezüglich der natürlichen Ordnung auf $\mathbb {R}$ kleinsten erhaltenen Eigenwert bestimme man einen zugehörigen Eigenvektor.

Aufgabe 4 [10 Punkte] (Algebra)

1:Definition von Ring

2:Wann ist ein Ring nullteilerfrei

3:Was ist eine Einheit, gib alle einheiten von Z6 an

4:Wann ist eine Zahl in Zm eine einheit

5:Gib verschiedene Ringe an

i:nicht nullteilerfrei

ii:Nullteilerfrei, hat ein Element !=0 das keine einheit ist

iii:Nullteilerfrei, jedes Element ist eine Einheit

Aufgabe 5 [10 Punkte] (Graphentheorie)

Multiple Choice zu Graphentheorie