TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 10

Ist $a_{0}=0$ und $a_{n+1}=a_{n}+(n+1)$ für alle $n\in \mathbb {N}$, so gilt $a_{n}={n(n+1) \over 2}$

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Hilfreiches

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von samuelp

Induktionsanfang $n=0$

Linke Seite $a_{0}=0$

Rechte Seite ${0(0+1) \over 2}=0$

Induktionsschritt $n\rightarrow n+1$

Induktionshypothese: $a_{n}={n(n+1) \over 2}$

Induktionsbehauptung: $a_{n+1}={(n+1)(n+2) \over 2}$

Linke Seite:

${\begin{aligned}a_{n+1}&{\overset {{\textrm {def.}}a_{n}}{=}}a_{n}+(n+1)\\&{\overset {I.H.}{=}}{n(n+1) \over 2}+(n+1)\\&={n(n+1) \over 2}+{2n+2 \over 2}\\&={n^{2}+n \over 2}+{2n+2 \over 2}\\&={n^{2}+3n+2 \over 2}\end{aligned}}$

Rechte Seite:

${\begin{aligned}{(n+1)(n+2) \over 2}&={n^{2}+3n+2 \over 2}\end{aligned}}$

Da beide Seiten auf den selben Ausdruck Fehler beim Parsen (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle } umgeformt werden können, ist $a_{n+1}={(n+1)(n+2) \over 2}$ richtig.