TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 15

Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge $x_{0}=1$ und $x_{k+1}=x_{k}+18k+15$ für $k\geq 0$ allgemein gilt:

$x_{n}=(3n+1)^{2},$ für alle $n\geq 0$.

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Lösungsvorschlag von frunobulax

Induktionsanfang

$n=0:x_{0}=(3\cdot 0+1)^{2}=1$

Induktionsvorraussetzung

ist somit $x_{n}=(3n+1)^{2}$

Induktionsschritt

$x_{n+1}=x_{n}+18n+15$

Wir setzten die Vorrausseztung ein...

$x_{n+1}=(3n+1)^{2}+18n+15=9n^{2}+24n+16=(3n+4)^{2}=(3(n+1)+1)^{2}$